Probabilité : loi discrète

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Probabilité : loi discrète

Posté le 09-03-10 à 19:06

Posté par concours_A

Bonsoir, voudriez-vous confirmer mes réponses ? Voire corriger mes erreurs ?

Un sauteur en hauteur tente de franchir successivement des hauteurs numérotées 1, 2, 3, ..., n, .... Le probabilité de franchir la hauteur n est 1/n (inverse de n).

Soit X la variable de probabilité représentant le numéro hauteur du dernier saut réussi.

1) Déterminer la loi de X.

Ma réponse : p(X=n)=1/n! (inverse de la factorielle).

En outre, je justifie par le fait qu'il faille franchir la hauteur 1 (proba=1), la hauteur 2 (proba = 1/2), etc... Donc pour franchir la hauteur n, cela se traduit par le produit des probabilités de toutes les hauteurs précédentes.

2) Déterminer l'espérance E(X).

Ma réponse E(X)=e (exponentielle de 1)

E(X)=(Somme de 1 à l'infini) k/(k!) = (Somme de 1 à l'infini) 1/(k-1)! = e
Je crois reconnaître le développement limité de E

3) Déterminer la variance de X. Indication : noter que n²=n(n-1)+n

V(X)=E(X²)-E²(X)

Ma réponse : 2e-e²

E(X²)=(Somme de 1 à l'infini) k²/k!

En reprenant l'indication :
E(X²)=(Somme de 1 à l'infini)[k(k-1)+k]1/k!
=(Somme de 1 à l'infini)k(k-1)/k! + (Somme de 1 à l'infini)k/k!
=(Somme de 2 à l'infini)1/(k-2)! + e
=2e

Donc V(X)=2e-e²

Qu'en pensez-vous ?...

Est-ce que Anne-Laure la quadragénaire aurait conservé quelques notions de maths ? (rire)

re : Probabilité : loi discrète

Posté le 09-03-10 à 21:19

Posté par Pierre_D

Re-bonjour concours_A,

Attention, le dernier saut réussi est $n$ si on a réussi les $n$ sauts $1,\;2,\;3,\;...,\;n$ et si on a raté le saut $n+1$ . Tout est donc à revoir ...

Remarque 1 : tu aurais pu avoir la puce à l'oreille en constatant que la somme de tes probabilités pour tous les événements exclusifs possibles, de $n=1$ (la probabilité de $X=0$ est nulle) jusqu'à l'infini, n'était pas égale à 1.

Remarque 2 : il faudra faire attention en manipulant les indices de départ des sommes ; par exemple $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}=e$ et donc $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k!}=e-1$ .

re : Probabilité : loi discrète

Posté le 09-03-10 à 21:56

Posté par concours_A

Bonsoir,

Une heure que je suis sur latex, il semblerait que j'y parvienne enfin !

Rentrons dans le vif du sujet : il semblerait que tout soit faux alors...

Effectivement, je comprends qu'il faille que les sauts 1 à n soient réussis et le saut (n+1) échoué.

Donc la loi serait $p(X=n)=\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{n!} \frac{n}{n+1}=\frac{n}{(n+1)!}$ ?

Si oui, je me lance dans le calcul de E(X) et V(X).

Merci Pierre_D de m'avoir corrigée.

re : Probabilité : loi discrète

Posté le 09-03-10 à 21:58

Posté par concours_A

Oh, j'y pense :

Pierre_D, vous me dites que la somme de mes probabilités est supérieure à 1... Voudriez-vous me dire que la somme de tous les P(X=n) excèderait 1 ?

re : Probabilité : loi discrète

Posté le 09-03-10 à 22:03

Posté par Pierre_D

Oui, c'est ça, concours_A ; mais je pressens qu'il vaut peut-être mieux garder la forme $\displaystyle \frac1{n!}-\frac1{(n+1)!$ pour les calculs ultérieurs.

Bravo pour LaTeX, tu es une rapide ...

re : Probabilité : loi discrète

Posté le 09-03-10 à 22:13

Posté par Pierre_D

A ton message de 21H58 :

Avec ta première réponse : $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{k!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{k!}-1=e-1$

Avec ta nouvelle réponse : $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{k!}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(k+1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{k!}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{k!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{k!}-1-\left[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{k!}-1-1\right]=e-1-(e-2)=1$

re : Probabilité : loi discrète

Posté le 09-03-10 à 22:41

Posté par concours_A

Merci pour le compliment au sujet de latex, rire ! Les fractions ne sont pas trop dures. Demain, les sommes, je sens que je vais nettement moins rire...

Merci pour la forme $\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$ . Je ferai l'espérance et la variance demain, car je suis trop crevée ce soir. Je pense que le plus dur est à présent fait.

Finalement, j'aurais eu un zéro pointé à cet exercice...

Bonne nuit !

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