Méthode de Simpson

Posté par music_sab music_sab

Bonjour,

On fait en cours des integrations numériques. Avec la méthode des trapèzes, la méthode des rectangles et la méthode de Simpson. Dans mon dossier, c'est écrit :

M. Rectangle : si f '(x) = 0 , alors Erreur = 0 (f(x) = Cte)
M. Trapèze : si f ''(x) = 0 , alors Erreur = 0 (f(x) = ax + b)
M Simspon : si f ⁽⁴⁾(x) = 0, alors Erreur = 0 (f(x) = ax³+bx²+cx+d)

Voilà, pour la première, je comprends : La méthode des rectangles est fait avec des traits horizontals, donc l'erreur pour une fonction constante est de 0

Pour la méthode des trapèzes aussi, c'est logique, les trapèzes fonctionnent sur des bout de traits droit et incliné, donc avec une fonction affine, l'erreur est de 0.

Mais maintenant pour la méthode de Simpson, on prend sur des morceaux de la courbe et on les approxime par une parabole. Donc pourquoi l'erreur est de 0 pour un polynome de degré 3 et non de degré 2... ? Et je sais que c'est juste, mais j'ai vu par le graphique que ça se compense, mais voilà, je comprends pas pourquoi ...

Merci beaucoup, bonne soirée !

Exemple de courbe du 3ème degré avec sa parabole.

Posté par PIL PIL

Salut,

Je ne sais pas si je vais répondre exactement à ta question ("pourquoi") mais tu peux voir les choses de la façon suivante : considère un polynôme de degré 3  f(x) = ax³ + bx² + cx + d qu'on veut intégrer sur l'intervalle [-h,h] (on peut se ramener à cet intervalle). On a :

.

Le polynôme de degré2 qui prend les mêmes valeurs que f(x) pour x=-h, x=0, x=h, se calcule facilement : c'est P(x) = bx² + (ah²+c)x + d; et tu obtiens :

.

Il reste à "comprendre" ...

Posté par music_sab music_sab

Bonjour,

J'ai mis du temps à répondre, en tout cas merci beaucoup, ça m'a permis de réfléchir, et de comprendre dans le fond " pourquoi ". En fait c'est très logique !

Merci beaucoup !!!