Espaces Vectoriels

Posté par bill159 bill159

Bonsoir,

Je sollicite de l'aide pour un exercice:

Peut-on déterminer des réels x,y pour que le vecteur appartiennent à où et

sachant que j'ai fait le cours aujourd'hui

Merci par avance.

Je n'attend pas la solution tombée du ciel mais seulement et simplement des explications sur l'énoncé,...etc

Posté par Narhm Narhm

Bonjour,

Oui on peut !
Vect(e1,e2) est l'espace vectoriel engendré par e1 et e2 sur ton corps de base, c'est à dire l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de e1 et e2.
Donc ton vecteur appartient à Vect(e1,e2) s'il est combinaison linéaire de e1 et e2.

Si tu comprends ceci, alors tu ne devrais pas avoir beaucoup de mal à trouver x et y en regardant ce que vaut e1+e2.

Posté par Narhm Narhm

Pardon, mon oeil à regarder trop vite les vecteurs e1 et e2.
Cela ne sert à rien de regarder e1+e2 ( j'ai pris un + pour un - ).

Donc ton vecteur appartient à vect(e1,e2) si et seulement s'il existe a et b tel que ae1+be2=(-2,x,y,3).
Cela t'ammène à un systeme à résoudre.

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Bonsoir,

Il faut trouver x et y tels que (-2,x,y,3) = r(1,-1,1,2) + s(-1,2,3,1)

(-2,x,y,3) = (r,-r,r,2r) + (-s,2s,3s,s)

(-2,x,y,3) = (r,-r,r,2r) + (-s,2s,3s,s)

(-2,x,y,3) = (r - s,-r + 2s,r + 3s,2r + s)

Tu résous le système des deux équations en r et s trouvées en identifiant la 1ère et la dernière composante.

Puis tu les remplaces pour trouver x et y

Posté par bill159 bill159

ok merci je vais lire de près vos réponses...

Posté par bill159 bill159

je dois donc montrer que le vecteur v est une combinaison linéaire de e1 et et e2 pour affirmer qu'il appartient à l'espace vectoriel engendré par e1 et  e2.

Posté par Narhm Narhm

Si v=(-2,x,y,3) alors oui c'est bien ca.
Et ca va te mener exactement au système dont nous parlions.

Posté par bill159 bill159

car Vect X n'est rien d'autre qu'un ensemble de combinaisons linéaires...

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Non, ce n'est pas à démontrer parce que c'est la définition de vec{e₁,e₂}.

Il faut plutôt l'utiliser.

Posté par bill159 bill159

ok mais sinon pourriez vous me définir ce qu'est qu'une combinaison linéaire pour que je visualise?

Posté par bill159 bill159

donc le système correspond bien à cette matrice:

1 -1 -2
-1 2  x
1  3  y
2  1  3

Posté par Narhm Narhm

Une combinaison linéaire de e1 et e2 est tout vecteur s'écrivant sous la forme , avec le corps de base de l'espace vectoriel considéré. Ici j'imagine que K c'est .

Posté par bill159 bill159

donc


est-ce juste?

Posté par bill159 bill159

je connais la définition mais comment le visualiser?

Posté par Narhm Narhm

"Le système correspond à la matrice" ?
Ca veut pas dire grand chose dit comme ca.

Ton systeme semble faux, comment l'as tu obtenu ?

Plus concrètement, v appartient à Vect(e1,e2) si et seulement si il existe a,b dans K tels que ae1+be2=v si et seulement si il existe a,b dans K tels que :   si et seulement si il existe a,b dans K tels que .

Si le système possède une solution, alors c'est bon, v appartient à Vect(e1,e2), sinon v n'est pas dedans.

Posté par bill159 bill159

il n'y a pas deux autres équations avec x et y?
Vous n'avez mis que deux équations...

Posté par bill159 bill159

ok je détermine a et b et j'en déduis x et y..

Posté par Narhm Narhm

Voilà, c'est ca.
x et y sont inconnues et entierement determinés par a et b s'il existe.

Posté par bill159 bill159

je trouve a=-3/5 et b=7/5

Posté par Narhm Narhm

Ce n'est pas ca.

Posté par bill159 bill159

a=1/3

Posté par Narhm Narhm

Oui

Posté par bill159 bill159

Maintenant, je m'attaque sur la notion de "supplémentaire"...
Je cherche un exo utilisant cette notion
Vous pouvez proposer des définitions

Posté par Narhm Narhm

Proposer des définitions ou des exercices traitant de "supplémentaire" ?

Posté par bill159 bill159

les deux, là je vais balancer un exo ^^

Posté par Narhm Narhm

Dans ce cas, je te propose de poster ton exercice dans un autre topic. Ce sera plus simple et plus adapter à ce qu'on attend de toi vu qu'on ne sait pas vraiment comment sont tes cours, ou tu en es, ce que tu sais etc...

Posté par bill159 bill159

soit \[\begin{array}{l}
{v_1}\left( {1,0,0,1} \right) \\
{v_2}\left( {0,0,1,0} \right) \\
{v_3}\left( {0,1,0,0} \right) \\
{v_4}\left( {0,0,0,1} \right) \\
{v_5}\left( {0,1,0,1} \right) \\
\end{array}\]

Vect {v1,v2} et vect{v3} sont il supplémentaires dans R^4?

idem : pour Vect{v1,v3,v4} et Vect{v2,v5}?

Posté par bill159 bill159

soit

Vect {v1,v2} et vect{v3} sont il supplémentaires dans R^4?

idem : pour Vect{v1,v3,v4} et Vect{v2,v5}?

Posté par Narhm Narhm

Pour le 1er :
Quelle est la dimension de R^4, et quelle est la dimension maximale de Vect(v1,v2)+Vect(v3) ? Conclus en qu'ils ne peuvent pas supplémentaires dans R^4.

Posté par bill159 bill159

d'abord la définition... ^^

Posté par Narhm Narhm

Pour la définition, c'est écrit un peu partout sur le net.
Soit E un espace vectoriel, F et G deux sous espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont supplémentaires dans E si :
i) F+G=E  
ii) FG={0}

Maintenant tu dois pouvoir répondre à ta question avec mon indication.

Posté par bill159 bill159

avant ça, pour le premier exo, la valeur de b n'est pas bon, c'est plutôt 7/3...

Posté par Narhm Narhm

Bonjour,

Nous n'avions parlé des bonnes valeurs de b.
Je t'avais seulement dit que a=1/3 était juste.

Donc pour reprendre, l'unique solution du système est bien .

Posté par bill159 bill159

merci c'est bon

Posté par Narhm Narhm

De rien