Espaces vectoriels, applications linéaires.

Posté par juliette92 juliette92

Bonjour, pourrais-je avoir quelques pistes pour résoudre ces exercices.. ?

Soit ( E ,+,. ) un espace vectoriel réel.
Dans ce problème, e désigne idE et u étant un endomorphisme de E, on note :
u0 = e , u1 = u , u2 = uou , n , un+1 = un o u .
k étant un réel donné, on note Ak l'ensemble des endomorphismes u de E tels que :
u2 = ku

I) 1°) Soient k un réel quelconque, u appartenant à Ak , x un vecteur de Im(u) .
Déterminer u(x) en fonction de k et x.
2°) Soient k un réel non nul, u appartenant à Ak , x un vecteur de E.
Montrer que x appartient à Im(u) si et seulement si u (x) = k x.
3°) Soient k un réel quelconque, u appartenant à Ak .
(a) On suppose dans cette question k nul. Comparer Im(u) et Ker(u) .
(b) On suppose dans cette question k non nul.
Montrer que Im(u) et Ker(u) sont supplémentaires dans E.

II) Soit g un endomorphisme de E tel qu'il existe x0 de E -{0}
vérifiant : Im(g) = Vect x0.
1°) On suppose que Im(g) est inclus dans Ker(g) .
Montrer que g appartient à A0 .
2°) On suppose que Im(g) n'est pas inclus dans Ker(g) .
(a) Montrer que Im(g) et Ker(g) sont supplémentaires dans E .
(b) En déduire qu'il existe k réel tel que g appartienne à Ak .

Voila merci beaucoup

Posté par LeZebre LeZebre

Bonjour, voici quelques pistes :
I) 1) si x Im(u) alors y tel que x=u(y) puis tu calcules u(x)
2) Si u(x)=kx tu peux écrire x=u(x/k)
3)a) d'après la question 2, x Im(u) u(x)=0
  b) si x Im(u)Ker(u) alors u(x)=0, or u(x)=kx donc ...
    Puis tu utilises le théorème du rang
Voyons déjà si ça te permet d'avancer

Posté par juliette92 juliette92

Oui merci c'est bon pour cette partie je pense,
quelques indications comme celles ci pour la deuxieme partie seraient parfaites

Posté par LeZebre LeZebre

J'en profite pour dire que mon indication pour 3a est fausse puisqu'on ne peut pas utiliser la question 2 (je suis allé un peu trop vite)
Par contre on peut prouver que Im(u) Ker(u) et s'arrêter là

Posté par LeZebre LeZebre

Pour la partie 2 :
1) tu calcules gog(x) pour tout x, en remarquant que g(x) Im(g)
2) a) Raisonnement par l'absurde : tu supposes que Ker(g) Im(g) n'est pas vide
      Dans ce cas, Ker(g) Im(g) est un sous-espace de dimension au moins 1
      Mais il ne peut pas être de dimension supérieure à 1 car dim(Im(g))=1
      Ker(g) Im(g)=Im(g), ce qui prouve que Im(g)Ker(g) : absurde
      Puis tu conclues comme dans l partie 1 avec le théorème du rang
   b) Pour tout x, il existe un réel a tel que g(x)=ax0 (a dépend de x donc on le note a(x))
      Ainsi g(x)=a(x)x0, et en particulier g(x0)=a(x0)x0
      tu calcules gog(x) en fonction de g(x) et tu auras ton k