Exercice de L3 MATHS

Posté par gasquet13 gasquet13

bonjour je suis nouveau sur ce site (très agréable et très bien fait)et en tant que étudiant en 3e année de licence j'ai un énorme problème concernant un exercice sur les statistiques et probabilités.
Cela concerne la convergence en loi et convergence en probabilités :
    On tire un nombre au hasard entre 0 et 1. on définit sur l'espace probabilisé ([0,1],P([0,1],P) les variables aléatoires Xn=1[0,1/2+1/n] et X=1[1/2,1] ( entre crochet disposé en dessous du "1")
1° calculer les lois et les fonctions de répartitions de ces variables
2° montrer que Xn converge en loi vers X lorsque n tend vers l'infini
3° calculer la probabilité P(|Xn-X|> § ). En prenant un exemple précis de §, montrer que Xn ne converge pas en probabilité vers X

Voila désolé si l'énoncé est un peu long mais c'est vraiment la première fois de ma vie que je suis autant perdu en maths, cela est trop abstrait, trop théorique dans la mesure où il n'y a pas de chiffres et de calculs explicites.
Voila merci en espérant votre aide précieuse.

Bonne journée a tous !

Posté par Arkhnor Arkhnor

Bonjour.

Tu es certain de ton espace probabilisé ? La tribu est bien l'ensemble de toutes les parties de ?
Dans ce cas là, comment est défini ? Ton énoncé laisse penser que c'est la mesure de Lebesgue, mais elle n'est pas définie sur tout entier ...

Dans tous les cas, pour déterminer la loi d'une variable aléatoire réelle , on doit déterminer pour tout borélien .
Il s'agit donc de calculer cette quantité.
La fonction de répartition est donnée par

Pour la convergence en loi, on doit montrer que, pour toute fonction suffisamment régulière (par exemple continue et bornée), on a , ou de manière équivalente, par le théorème de transfert, .
Là encore, que du calcul, à partir du moment où on a déterminé les lois des variables aléatoires.

Pour la question 3), c'est encore un calcul.

Ton exercice n'est pas du tout théorique, il s'agit simplement d'appliquer les définitions sur l'exemple proposé.