Suites adjacentes

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Suites adjacentes

Posté le 10-03-10 à 17:52

Posté par jeb5292

Salut, Je dois démontrer que les suites $U_n=\prod_{k=1}^n (1+\frac{1}{k^2})$ et $V_n=(1+\frac{1}{n})U_n$ sont ajacentes. J'ai déja démontré la croissance de $(U_n)$ et la décroissance de $(V_n)$ .

Mon problème vient du fait que je n'arrive pas à conclure quant à la limite de $U_n - V_n$ . En fait, je ne peux pas conclure puisque je ne sais pas comment démontrer que la limite de $\prod_{k=1}^n (1+\frac{1}{k^2})$ est finie.

Du coup, je reste bloqué à : $\lim_{n \to \infty} U_n - V_n = \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} \prod_{k=1}^n (1+\frac{1}{k^2})$ sans pouvoir dire que cette limite vaut en fait 0...

Si quelqu'un pouvait m'aider à résoudre mon problème ? Merci d'avance

re : Suites adjacentes

Posté le 10-03-10 à 18:46

Posté par jeb5292

re : Suites adjacentes

Posté le 10-03-10 à 20:37

Posté par raymond

Bonsoir.

Tu as donc :

$\textrm U_1 \le \ U_2 \le \ . . . \le \ U_n \le \ . . . \le \ V_n \le \ V_{n-1} \le \ . . . \le \ V_2 \le \ V_1$

La suite (U_n) est donc croissante et majorée, donc, elle converge vers une limite FINIE U.

Par conséquent :

$\textrm V_n-U_n = \fra{1}{n}U_n$ tend vers 0.

re : Suites adjacentes

Posté le 10-03-10 à 21:17

Posté par jeb5292

Ah, exact, simple propriété de cour, Merci !

re : Suites adjacentes

Posté le 10-03-10 à 22:51

Posté par raymond

Bonne soirée

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