Limites et convergence de suites adjacentes

Posté par 4maths 4maths

Bonjour,

J'ai un exercice à faire pour demain, j'ai deja avancé mais je bloque sur la dernière question. Si vous pouviez m'aider

Soient les suites (un) et (vn) définies par
(un) :   u0=1  un+1=(un+2vn)/3
(vn) :   v0=12 vn+1= (un+3vn)/4

1) Montrer que ces suites sont adjacentes.

2) Calculer leur(s) limite(s) [Il est précisé que je dois m'aider du théorèmesuivant: Si 2 suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite]

1) Je souhaite connaitre le sens de variation de (un) et (vn).
Je calcule donc
un+1-un = 2/3(vn-un)
vn+1-vn = 1/4(un-vn)

Je suis ramenée à étudier le signe de un-vn

Pn:"un-vn<0"
u0-v0=-11<0
Supposons Pn vraie au rang n ie un-vn<0
un+1-vn+1= (un-vn)/12<0

P0 vraie
Pn héréditaire donc un-vn<0

Donc (un) est croissante et (vn) est décroissante.

Je note wn=un-vn d'où wn+1=un+1-vn+1 = (1/12)wn
(wn) est géométrique de raison 1/2 et de premier terme w0=-11

0<1/12<1 donc lim (1/12)^n=0 et on a lim(wn)=lim(un-vn)=0

D'où (un) et (vn) sont adjacentes.

2) Je séche parce que je ne sais pas d'où partir pour calculer ma limite.


Merci de votre aide.

Posté par 4maths 4maths

Je viens de calculer les premiers termes des deux suites pour me faire une idée, et d'après ces calculs, ces suites tendent vers 9. Mais je ne vois pas comment le prouver par des calculs de limite.

Posté par Labo Labo

bonjour,


soit  (c_n) la suite définie par

Posté par 4maths 4maths

merci beaucoup !
La prof avait oublié de nous donner la suite tn= 3un +8 vn
En tout cas merci encore !