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Complexes (forme algébrique)

   
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terminaleComplexes (forme algébrique)

#msg2927692 Posté le 10-03-10 à 22:29
Posté par Profiljf62 jf62

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour déterminer la forme algébrique de ce nombre complexe, car je ne m'en sort vraiment pas dans mes calculs... A l'avance je vous en remercie!!


Z= (1+i tan(/2))/(1-i tan(/2))
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927753 Posté le 10-03-10 à 22:58
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonjour,

Tu multiplies les deux termes de la fraction par 1 + i tan(/2).

Tu effectues les calculs et tu appliques les formules : sin() = (2 tan(/2))/(1 + tan²(/2)) et cos() = (1 - tan²(/2))/(1+ tan²(/2))

Tu arriveras à z = cos() + i sin()
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927759 Posté le 10-03-10 à 23:01
Posté par Profildrioui drioui

salut
remarque que
(1+itan(a/2))²=[1 +isin(a/2)/cos(a/2)]²=[(cos(a/2)+isin(a/2))]/cos(a/2)]²=(cosa+isina)/cos²(a/2)
( 1-itan(a/2))(1+itan(a/2))=1+tan²(a/2)=1/cos²(a/2)
Z= (1+itan(a/2))/( 1-itan(a/2))
=( 1+itan(a/2))²/( 1-itan(a/2))(1+itan(a/2))
=[(cosa+isina)/cos²(a/2)]/ [ 1/cos²(a/2)]
= cosa+isina
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927760 Posté le 10-03-10 à 23:01
Posté par Profiljf62 jf62

ces formules sont censées être connues ou il faut les démontrer?
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927762 Posté le 10-03-10 à 23:01
Posté par Profiljf62 jf62

en tout cas merci!
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927764 Posté le 10-03-10 à 23:02
Posté par Profildrioui drioui

ces formules sont censées être connues
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927925 Posté le 11-03-10 à 11:21
Posté par Profiljf62 jf62

Je ne comprends pas trop les formules

(1+itan(a/2))²=[1 +isin(a/2)/cos(a/2)]²=[(cos(a/2)+isin(a/2))]/cos(a/2)]²=(cosa+isina)/cos²(a/2)

et ( 1-itan(a/2))(1+itan(a/2))=1+tan²(a/2)=1/cos²(a/2)
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927940 Posté le 11-03-10 à 11:34
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Comme drioui semble déconnecté, je te réponds

(1 + i tan(\frac{a}{2}))^2 = (1 + i \frac{sin(\frac{a}{2})}{cos(\frac{a}{2})})^2 = [\frac{cos(\frac{a}{2}) + i sin(\frac{a}{2})}{cos(\frac{a}{2})}]^2 = \frac{ cos^2(\frac{a}{2}) - sin^2(\frac{a}{2}) + i.2sin(\frac{a}{2}) cos(\frac{a}{2})}{cos^2(\frac{a}{2})} = \frac{cosa + i.sina}{cos^2(\frac{a}{2})}

La 2ème formule provient de 1 + tan^2(\frac{a}{2}) = 1 + \frac{sin^2(\frac{a}{2})}{cos^2(\frac{a}{2})} = \frac{cos^2(\frac{a}{2}) + sin^2(\frac{a}{2})}{cos^2(\frac{a}{2})} = \frac{1}{cos^2(\frac{a}{2})}
re : Complexes (forme algébrique)#msg2927942 Posté le 11-03-10 à 11:38
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Ceci est peut-être plus lisible.

\textrm(1 + i tan(\frac{a}{2}))^2 = (1 + i \frac{sin(\frac{a}{2})}{cos(\frac{a}{2})})^2 = [\frac{cos(\frac{a}{2}) + i sin(\frac{a}{2})}{cos(\frac{a}{2})}]^2 = \frac{ cos^2(\frac{a}{2}) - sin^2(\frac{a}{2}) + i.2sin(\frac{a}{2}) cos(\frac{a}{2})}{cos^2(\frac{a}{2})} = \frac{cosa + i.sina}{cos^2(\frac{a}{2})}

La 2ème formule provient de \textrm1 + tan^2(\frac{a}{2}) = 1 + \frac{sin^2(\frac{a}{2})}{cos^2(\frac{a}{2})} = \frac{cos^2(\frac{a}{2}) + sin^2(\frac{a}{2})}{cos^2(\frac{a}{2})} = \frac{1}{cos^2(\frac{a}{2})}
re : Complexes (forme algébrique)#msg2928456 Posté le 11-03-10 à 18:14
Posté par Profiljf62 jf62

Merci, c'est plus clair mais je ne comprends pas comment vous passez, dans la 1ère formule, du 3e terme au 4e et du 4e au 5e...
re : Complexes (forme algébrique)#msg2928505 Posté le 11-03-10 à 18:35
Posté par Profiljf62 jf62

c'est bon, j'ai compris grace aux formules de trigo. Merci

Par contre maintenant je dois trouver la forme exponentielle.

J'ai |Z|=1 mais ensuite pour l'angle, c'est c'est bien ça?
ce qui fait Z=ei


Enfin je dois en déduire deux relations trigonométriques:

cos a=(1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2)) et sin a=(2 tan(a/2))/(1+tan²(a/2))

mais là je ne sais pas ce que je dois utiliser...
re : Complexes (forme algébrique)#msg2928853 Posté le 11-03-10 à 21:27
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Quel désastre...

Tu dois déduire deux formules que nous avons utilisées dans notre raisonnement…

Il va falloir tout recommencer à zéro !

Je vais manger  (je crois qu'il est temps à cette heure) et te dactylographierai la réponse dans le courant de la soirée.

Dommage que nous n'ayons pas eu l'énoncé au complet depuis le début. Cela aurait évité ce temps perdu
re : Complexes (forme algébrique)#msg2928943 Posté le 11-03-10 à 22:36
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

\textrm z = \frac{1 + i.tan(\frac{\theta}{2})}{1 - i.tan(\frac{\theta}{2})} = \frac{(1 + i.tan(\frac{\theta}{2}))^2}{(1 - i.tan(\frac{\theta}{2}))(1 + i.tan(\frac{\theta}{2}))} = \frac{1 - tan^2 (\frac{\theta}{2}) + 2i.tan(\frac{\theta}{2})}{1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})} = \frac{1 - tan^2 (\frac{\theta}{2})}{1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})} + i.\frac{2 tan(\frac{\theta}{2})}{1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})}


\textrm |z|^2 = [\frac{1 - tan^2 (\frac{\theta}{2})}{1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})}]^2 + [\frac{2 tan(\frac{\theta}{2})}{1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})}]^2 = \frac{[1 - tan^2 (\frac{\theta}{2})]^2 + [2 tan(\frac{\theta}{2})]^2}{[1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})]^2} = 1   en effectuant les calculs qui ne sont pas longs.

D'où  \textrm |z| = 1

Si z_1 = 1 + i. tan(\frac{\theta}{2}), alors arg(z_1)= \frac{\theta}{2}

Si z_2 = 1 - i. tan(\frac{\theta}{2}), alors arg(z_2)= -\frac{\theta}{2}

Donc arg(z) = arg(\frac{z_1}{z_2}) = \frac{\theta}{2} - (-\frac{\theta}{2}) = \theta.


L'écriture exponentielle de z sera z = e^{i\theta}

Sous forme algébrique, on aura alors z = cos(\theta) + i.sin(\theta).

En comparant cette forme algébrique avec la forme algébrique du début de la résolution, nous avons : \textrm cos(\theta) = \frac{1 - tan^2 (\frac{\theta}{2})}{1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})}  

et  \textrm sin(\theta) = \frac{2 tan(\frac{\theta}{2})}{1 + tan^2 (\frac{\theta}{2})}

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