Convergence faible (Espace Lp)

Forums

» » » »

Convergence faible (Espace Lp)

Posté le 11-03-10 à 17:42

Posté par sambgoree

Bonjour
je voulais de l'aide svp.
Soit (X,T,m) un espace mesuré fini.Soit $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset L^1$ , $f\in L^1$ et $C\in \mathbb{R}$ .On suppose que:
* $f_n$ converge faiblement vers $f$ dans $L^1$ .
*Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $f_n\ge C$ p.p.
1.Montrer que $f\ge C$ p.p.
2.on suppose maintenant que $f=C$ p.p.
Montrer que $f_n$ converge vers f dans $L^1$ .

re : Convergence faible (Espace Lp)

Posté le 11-03-10 à 18:06

Posté par Arkhnor

Bonjour.

1) Montre que pour tout borélien $A$ de mesure non nulle, on a $3$ \frac{1}{m(A)}\Bigint_Af\,dm \ge C$ , en utilisant la définition de la convergence faible pour un $g \in L^{\infty}$ bien choisi.

Montre ensuite que ça implique $f \ge C$ presque partout.

2) $3$ ||f_n - f||_{L^1} = \Bigint_X |f_n - f| \,dm = \Bigint_X(f_n - C) \, dm = \Bigint_X f_n \, dm - Cm(X)$
La deuxième égalité, c'est d'après les hypothèse.
Comme la fonction constante égale à 1 appartient à $L^{\infty}$ , on en déduit, d'après la CV faible, que $3$ \Bigint_X f_n \, dm$ tend vers $3$ \Bigint_X f \, dm = Cm(X)$ , d'où la CV dans $L^1$ .

re : Convergence faible (Espace Lp)

Posté le 12-03-10 à 18:07

Posté par sambgoree

Merci bcp arkhnor.

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster

Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

probabilités en post-bac
1 fiches de mathématiques sur "probabilités" en post-bac disponibles.