Algébre, Espace Vectoriel, Polynôme, Matrice, Noyau, ecs1

Posté par azertyuiop1 azertyuiop1

Bonjour à tous, étudiant en ECS1 je dois montrer que f(P)=XP' - X(X+1)P'' est un endomorphisme de R3[X]. : Jusque la, tout vas bien..
Je dois ensuite trouver son noyau et image.
Je met sous forme matricielle dans la base canonique :
O  O  O  O
O  1 -2  O
O  O  O  -6
O  O  O  -3
Car, f(X°)=0
f(X)= X
f(X²) = -2X
f(X3) = -3X² - 6X

Pour le noyau j'ai : x-2y=0
-6z=0
-3z=0

soit : z=O
et x=2y
: Je ne vois pas ce que je peux conclure



et Pour l'image je bloque...

Merci si vous pouvez m'aider

Posté par raymond raymond

Bonsoir.

Pour le noyau, on cherche des vecteurs du type : a + bX + cX² + dX³

Les équations deviennent :

a quelconque,
b = 2c
d = 0

Les éléments du noyau sont du type : a + 2cX + cX² = a + c(2X + X²)

Ker(f) est donc le sous-espace de dimension 2 : Vec(1 ; 2X+X²)

Cela signifie que dim(Im(f)) = 2

Pour étudier Im(f), cherche dans les colonnes de la matrice deux vecteurs indépendants : (C₂ et C₄ conviennent)

Im(f) = Vec(X ; -6X² - 3X³) = Vec(X ; 2X² + X³)

Posté par azertyuiop1 azertyuiop1

Ah ouiii, merci beaucoup pour avoir éclairci !

Posté par raymond raymond

Bonne soirée