Suites : Variations de poulation.

Posté par extasy extasy

Bonsoir, j'ai un exercice à effectué ce pendant je bloque dès le début, pourriez-vous m'aider?

On établit et on étudie des modèles pour suivre l'évolution d'une population d'animaux d'une réserve.
On note p₀ la population initiale et p_n la population de la n^ième génération.

1. Population croissante.
On pose p₀ = 500 et pour tout entier naturel n,
      p_n+1 = 1,035 p_n.
a) La suite (p_n)_n est géométrique, quelle est sa raison ?
   Quelle est son sens de variation ?
b) Exprimer p_n en fonction de n.
c) A l'aide de la calculatrice ou du tableur, calculer les termes p₁,...,p₂₀.
   Donner leur arrondi à l'unité.
d) Placer dans un repère les points de coordonnées (n;pn) pour les valeurs 0;1;...;20 de n.
e) A partir de quelle valeur de n, a-t-on p_n 2000?

2. Population décroissante.
On pose p₀ = 500 et pour tout entier naturel n,
      p_n+1 = 0,8p_n+40.
a) A l'aide de la calculatrice ou du tableur, calculer les termes p₁, p₂, ..., p₂₀.
   Donner leur arrondi à l'unité.
b) Placer dans un repère, les points de coordonnées (n;p_n) pour les valeurs 0;1;...;20 de n.
c) On pose pour tout n de , u_n = p_n-200.
   Démontrer que u est un suite géométrique.
d) Exprimer u_n pour p_n en fonction de n.
e) Démontrer que la suite (p_n)_n est décroissante.

                  
1. a) q=1,035 , mais je ne sais pas comment trouver son sens de variation.

Mercii ...

Posté par Yzz Yzz

Salut
1a: Suite géométrique de raison q=1,035
Elle est croissante, car sa raison est strictement supérieure à 1.

Posté par masterrr masterrr

Bonsoir,

Tu as avec .

Tu peux donc en déduire le signe de et donc la monotonie de la suite

Posté par masterrr masterrr

Bonsoir Yzz,



Pas seulement... Elle est croissante par que sa raison est strictement supérieure à 1 ET que son premier terme est strictement positif.

Posté par extasy extasy

Merci à tous d'avoir pris le temps de m'aider tout d'abord !

En ce qui concerne le sens de variation, j'ai trouvé des infos dans mon cours ^^

Par contre je ne comprend ce que ça veut dire la "monotonie de la suite" ...

Posté par masterrr masterrr

Étudier la monotonie d'une suite (ou d'une fonction), c'est dire si elle est croissante, décroissante, constante...

Posté par extasy extasy

Ah d'accord, merci !

Posté par Yzz Yzz

--->masterrr:
Oui, oui, effectivement, j'ai été un poil léger sur la question!

Posté par extasy extasy

J'ai un problème car on a pas pn ...

Posté par Yzz Yzz

Tu en es où?
(p_n) suite géo de premier terme p₀ et de raison q: donc, d'après le cours, p_n=p₀qⁿ

Posté par extasy extasy

J'essaie de calculer p_n+1-p_n.
Donc pn=500*1,035ⁿ ?

Posté par Yzz Yzz

Oui: c'est la réponse au 1b).

Posté par extasy extasy

D'accord merci. Je vais calculer les termes à l'aide du tableur.

Posté par extasy extasy

Voici ce que ça donne pour les termes de p1 à p20.

Posté par extasy extasy

C'est à partir de la valeur 41 qu'on a p_n 2000.

Posté par masterrr masterrr

C'est ça

Posté par extasy extasy

Ok, merci !
Je voulais juste savoir, pour la question 1e), j'ai trouvé que c'est à partir de 41 mais avec le tableur, est-ce qu'il ne faut pas justifier cela de façon plus précise ?

Posté par masterrr masterrr

N'oublie pas qu'il s'agit d'une suite et non d'une fonction. Tu ne peux pas avoir 41,2 ou 41,5, etc.

n est un entier naturel. Au rang 40, la suite est inférieure à 2000. Au rang 41, elle est supérieure à 2000. C'est donc à partir du rang 41 qu'elle est supérieure à 2000

Posté par extasy extasy

Oui, je suis d'accord, mais est-ce qu'il y a un moyen de trouver cette réponse sans le tableur?

Posté par masterrr masterrr

Tu peux également trouver ce résultat par le calcul, mais pas au niveau première.... (il faudra attendre la terminale)

Tu as donc .

Et c'est là que tu es bloqué en classe de première. En terminale, tu verras la fonction logarithme népérien, notée , et qui vérifie la propriété .

On obtiendrait donc et comme la réponse doit être un entier, on retrouve bien 41.

Si tu n'as pas compris ce que j'ai fait, oublie ce que je viens de raconter : tu verras tout ça l'année prochaine

Posté par extasy extasy

xD effectivement oui j'ai un peu du mal à comprendre ^^ mais comme dit, je vais oublier. Mais merci quand même, au moins l'année prochaine je serais qu'il y a une fonction logarithme népérien :p

Posté par masterrr masterrr

Ce qu'il faut retenir c'est : oui on peut vérifier le résultat trouvé grâce au tableau par le calcul mais pas au niveau première S

Posté par extasy extasy

Enfin bref, donc maintenant il y a la deuxième partie de l'exercice.
J'ai déjà un problème pour la première question, car p_n+1=0.8p_n +40, et je ne sais pas quoi mettre dans le tableur pour avoir les termes. Je trouve différent résultat avec la calculatrice et le tableur...

Posté par masterrr masterrr

Pourquoi as-tu marqué q=0,88 dans ton tableur ? D'après l'énoncé, il s'agit de 0,8.

Dans la case B3 il faut taper =0,8*B2+40. Ensuite tu dupliques cette formule en faisant glisser (c'est la même chose qu'avant sauf que q est différent et tu dois en plus ajouter 40).

Posté par extasy extasy

Ah d'accooord ^^
J'ai mis q=0.88 car j'ai essayé de calculer la raison avec la formule p_n=p_o*qⁿ, j'ai donc résout cette mini équation : 440=500*q¹...

Posté par masterrr masterrr

Ah bah non ! Cette formule n'est valable que pour les suites géométriques ! Une suite géométrique est de la forme . Or, ici, tu as plutôt : ce n'est donc pas une suite géométrique (même si une partie y ressemble). Pour information, il s'agit d'une suite arithmético-géométrique : elle a un côté géométrique et un côté arithmétique.

Posté par extasy extasy

Ah oui c'est vrai !!! En plus mon professeur nous l'avait dit !
Finalement le problème des termes avec le tableur est résolu.

Posté par extasy extasy

Bonjour, j'ai donc fait les questions 2a et 2b à l'aide du tableur.
Pour la question 2c) je propose :
On a u_n=p_n-200 donc p_n=u_n+200.
Pour tout n, u_n+1= p_n+1-200
                            = (0.8p_n+40)-200
                            = 0.8(u_n+200)+40-200
                            = 0.8u_n+160-160
                            = 0.8u_n
Donc pour tout n,u_n+1=0.8u_n.
Donc u est une suite géométrique de raison 0.8 et de premier terme ... je sais pas comment trouver le premier terme ...

Posté par extasy extasy

Ah bens i je sais comment xD
Donc de premier terme u₀=300.

Donc pour la question 2d on a : u_n = u₀*qⁿ = 300*0.8ⁿ
Or, p_n=v_n+200 donc p_n= 300*0.8ⁿ+200.

Posté par masterrr masterrr

Tout à fait

Posté par extasy extasy

Ah c'est cool alors
Par contre je ne sais pas comment démontrer que p_n est décroissante...

Posté par masterrr masterrr

Peut-être en étudiant le signe de ?

Posté par extasy extasy

Oui, exact ^^
Donc p_n+1 = 0.8p_n+40 et p_n = 300*0.8ⁿ+200.

D'où p_n+1-p_n= 0.8p_n+40-300*0.8ⁿ-200
                                  = 0.8p_n-300*0.8ⁿ-160

Est-ce cela qu'il faut faire...? Car ça me parait bisarre...

Posté par masterrr masterrr

Pourquoi est-ce que tu remplaces par son expression et pas ?

Si tu connais , alors tu connais en remplaçant tous les indices par .

Posté par extasy extasy

Eum oui donc ça donne : p_n+1-p_n = 300(0.8ⁿ⁺¹-0.8ⁿ)

Posté par masterrr masterrr

En effet, sauf que tu peux encore mettre en facteur ; après quoi tu as directement le résultat

Posté par extasy extasy

Comment peut-on mettre 0,8ⁿ en facteur vu qu'on a déjà 300 en facteur ...?

Posté par masterrr masterrr

L'un n'exclue pas l'autre ! On peut mettre en facteur.

En effet, .

Posté par masterrr masterrr

* n'exclut *

Posté par extasy extasy

Ah d'accord, je vois mieux.
Donc -60(0.8)ⁿ<0 donc p_n+1-p_n<0 c'est pourquoi (p_n) est strictement décroissante.

L'exerci est résolu, je vous remercie vraiment de m'avoir aidé !
Car en le faisant comme ça je me rend compte que c'est pas parce que c'est un exercie de type bac que c'est forcément très compliqué ^^. Au contraire; il suffit de bien lire l'énoncé et de prendre son temps !
Enfin bref, merci !

Posté par masterrr masterrr

Je t'en prie

Bon après-midi.