exercice type bac: Fonction expo

Posté par macaco macaco

bonjour, j'aurais besoin de beacoup d'aide pour cet exo il s'agit d'un exo type bac j'aimerais une correction bien détaillé! Je bloque des la premiere question:S Merci pour votre aide!

On se propose d'étudier la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=(x + 1)e-1/x.
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0;i;j) .

1 Étude des variations de f

a)Déterminer la fonction dérivée f.
b)Étudier le sens de variation de f.
c)Étudier la limite de f en +∞.

2 Étude d'une fonction auxiliaire
φ est la fonction définie sur [0;+∞[ par: φ(u)=1-(1+u)e-u .
a)Déterminer la dérivée de φ.
b)Démontrer que pour tout u≥0; 0≤φ'(u)≤u.
c)Étudier le sens de variation de la fonction u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[ .
d)En déduire que pour tout u≥0, 0≤φ(u)≤u²/2 (1).

3 Étude de f en +∞.

a)À l'aide de (1), démontrer que pour tout x>0, 0≤x-f(x)≤1/2x.
b) En déduire que C admet une asymptote Δ en +∞.
Préciser la position de C par rapport à Δ.

4 Étude de la tangente Ta à C en un point d'abscisse a

a)Déterminer une équation de Ta.
b)Démontrer que Ta coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse
a/(1+a+a²).

5 Tracé de C

Traer C, Δ et la tangente à C au point d'abscisse 1/3.

Posté par Bourricot Bourricot

Bonjour,

Est-ce que f(x)=(x + 1)e^-1/x

Pour étudier les variations de f , il faut étudier le ... de ....

Si f(x) = u(x) * v(x) avec u(x) = .. et v(x) = .... alors f '(x) = ???

Tu ne trouves pas la dérivée et le tableau de variation de f ?

Posté par macaco macaco

Pour étudier les variations de f , il faut étudier le signe de la derivée??

Si f(x) = u(x) * v(x) avec u(x) = (x + 1) et v(x) = e-1/x  alors f '(x) = ...???

Un peu d'aide svp!

Posté par macaco macaco

1a) f'(x)=e(-1/x)[(x²+x+1)/x²]

1b) soit x²+x+1=0
Δ=-3 donc f'(x) n'admet aucunes solution sur ]0;+∞[
f'(x) est croissante sur ]0;+∞[

tableau de variation:


x |0 +∞ |
f' || + |
f || croissante |

1c) Je bloque un peu d'aide svp!

Posté par macaco macaco

Je ne suis pas tres sur de la 1b) je crois qu'il me manque justifier une autre chose ca parait un peu vage en plus je bloque pour la 1c) et le reste de l'exo un peu d'aide svp!!

Posté par macaco macaco

Personne pour m'aider??

Posté par drioui drioui

salut
tu es arrive ou

Posté par drioui drioui

pour b) c'est bon

Posté par macaco macaco

Bon je suis a la question 1c) est-ce que vous pouvez m'aider???

Posté par drioui drioui

1)c
lim(-1/x)=0
x+
donc
lim e-1/x=1
x+
et lim(x+1)=+
x+
d'ou
limf(x)=+
x+

Posté par macaco macaco

Ohhh merci je comprends maintenat et pour les questions suivantes?? Un coup de main svp!

Posté par drioui drioui

lim(-1/x)=-
x
x>0
don c
lim e^(-1/x)=0
x0
x>0
lim(x+1)=1
x0
x>0
donc
lim f(x)=0
x0
x>0

Posté par macaco macaco

Merci mais je ne vois pas l'objet de cette limite en tout cas en la demande pas dans l'exo je parle de la question numero 2 a 5! J'aimerais un coup de main merci pour votre geneosité!

Posté par drioui drioui

2 Étude d'une fonction auxiliaire
φ(u)=1-(1+u)e-u .
calcule φ'(u)

Posté par macaco macaco

φ(u)=1-(1+u)e-u  je bloque car je trouve 2 calculs una soustraction et une multiplication je ne sais comment calculer cette derivée!

Posté par drioui drioui

φ'(u)=-e-u +(1+u)e-u=-e-u)(-1+1+u)=ue-u

Posté par macaco macaco

Mmm je ne comprends pas tres bien quelle serait l'expression litteraire de la derivée pour ce cas??? Merci

Posté par drioui drioui

b)Démontrer que pour tout u≥0; 0≤φ'(u)≤u.
φ'(u)-u= ue-u -u=u(-1+e-u)
or
u>0
-u<0
e^-u<e^0
e^-u < 1
-1+e^-u <0
donc
φ'(u)-u <0
φ'(u) <u

Posté par drioui drioui

attention
le u joue le même rôle que le x

Posté par macaco macaco

Ohhh merci je comprends tres bien l'encadrement mais je reviens a nouveau a la derivee comment a calcule t-on?? Le 1-.... m'embete beaucoup pourrez vous m'expliquer svp!

Posté par drioui drioui

φ(u)=1-(1+u)e-u .
la derinee de 1 est 0
puis -(1+u)e-u  est sous forme d'un produitde -(1+u) et e-u

Posté par macaco macaco

ohhh et on utilise la formule u'v+uv'!! Je comprends merci

Ok maintenant vous pourrez m'aider pour la question 2c)??

Posté par drioui drioui

c)Étudier le sens de variation de la fonction uφ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[ .
sa derivee est φ'(u)-u
d'apres 1)b on a φ'(u)-u <0 donc cette fonction est decroissante

Posté par macaco macaco

Ohhh je comprends maintenant et pour la question 2d)!??

Posté par drioui drioui

je reviens dans une heure

Posté par macaco macaco

Ok merci on se rencontre dans une heure pourrez vous m'aider avec le reste de l'exo??!

Posté par macaco macaco

est ce que vous pouvez m'aider maintenat??

Posté par drioui drioui

d)En déduire que pour tout u≥0, 0≤φ(u)≤u²/2
la fonction uφ(u)-(u²/2) est decroissante sur sur [0;+∞[  et l'image de 0est 0
donc pout tout u0 φ(u)-(u²/2)0
d'ou  pour tout u≥0, 0≤φ(u)≤u²/2

Posté par macaco macaco

Ohhhh je comprends merci! Et pour les questions 3 et 4 un peu d'aide svp!

Posté par drioui drioui

3)a)À l'aide de (1), démontrer que pour tout x>0, 0≤x-f(x)≤1/2x.
on a:
0≤φ(u)≤u²/2
0≤ 1-(1+u)e-u u²/2
on pose u=1/x
01-(1+ 1/x)e^(-1/x)1/2x²
01-[(x+1)/x]e^(-1/x)1/2x²
0x/x -[(x+1)/x]e^(-1/x)1/2x²
en multipliant les membre par x qui est positif
0x-(x+1)e^(-1/x)1/2x
0x-f(x)1/2x

Posté par drioui drioui

b) En déduire que C admet une asymptote Δ en +∞.
on a: 0x-f(x) 1/2x
donc
0lim x-f(x)lim(1/2x)
                    x+
or lim(1/2x)=0
    x+
donc
lim x-f(x)=0
x+
donc la droite d'equation y=x est asymptote à C en +∞

Posté par drioui drioui

Préciser la position de C par rapport à Δ.
on sait que 0x-f(x) donc C est au dessous de

Posté par drioui drioui

4) a)Déterminer une équation de Ta.
y=f'(a)(x-a)+f(a)

Posté par drioui drioui

b)Démontrer que Ta coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a/(1+a+a²).
il faut resoudre l'equation f'(a)(x-a)+f(a)=0

Posté par macaco macaco

f'(a)(x-a)= -f(a)
et a la fin je trouve x= a/(1+a+a²)

C'est juste???