Tangente de pente à la parabole

Posté par ___Jerome___ ___Jerome___

Bonsoir,

VOila j'arrive au bout de mes problèmes, sur 30 il m'en reste 5 à finir. Je vous demanderai encore une fois de m'aider à réaliser celui-ci:

Déterminez une équation de la tangente de pente 1 à la parabole de sommet 0, d'axe de symétrie horizontal et comprenant le point (-3,-6). Représenter.

Merci de votre aide. Grâce à vous, j'arriverai peut-être à rendre les 30 problèmes préparatoires de l'examen à mon prof . Courage et merci de votre sympathie

Posté par LeHibou LeHibou

Bonsoir,

Une parabole de sommet O et d'axe de symétrie horizontal a une équation de la forme x(y) = ay², dans laquelle y est la variable et x une fonction de y. As-tu appris à raisonner de cette façon ? Si oui, tu dois :
- commencer par déterminer a pour que cette parabole passe par (-3,-6)
- ensuite trouver la forme générale de la tangente à un point d'ordonnée y, donc de coordonnées (ay²,y)
- enfin trouver celle des tangentes qui est de pente 1

Posté par ___Jerome___ ___Jerome___

Moi j'ai une équation de la forme : y² = 2px

Posté par ___Jerome___ ___Jerome___

J'obtiendrai - 6 pour p?

Posté par LeHibou LeHibou

Si tu prends l'équation sous la forme y² = 2px, alors p doit vérifier :
(-6)² = 2p(-3)
36 = -6p
donc effectivement p = -6

Posté par ___Jerome___ ___Jerome___

D'accord mais les deux étapes suivantes, je n'y arrive pas...

Posté par LeHibou LeHibou

L'équation de la parabole est x = y²/(2p) = y²/12
Tu te ramènes à une équation en y(x) :
x = y²/12 donc y = +(12x) ou y = -(12x)
les signes + et - correspondent aux deux branches de la parabole au dessus et en dessous de l'axe des X
Pour la branche supérieure, tu as :
y = 12x
y'(x) = 12*(1/2)(1/x)
pour la branche inférieure tu as de même :
y = -12x
y'(x) = -12*(1/2)(1/x)
Sur la branche inférieure, tu as y'(x) < 0, or tu cherches une pente de 1, tu peux donc l'exclure
Sur la branche supérieure, tu cherches x tel que y'(x) = 1
donc 12*(1/2)(1/x) = 1
donc, en élevant au carré :
(12/4)(1/x) = 1
x = 2/4 = 3 et donc y = (12*3) = 36 = 6
La pente de la tangente est donc 1 au point de coordonnées (3,6)
Il te reste à trouver l'équation de cette tangente...

Posté par LeHibou LeHibou

CORRECTION, 2 lignes avant la fin, il faut lire : x = 12/4 = 3

Posté par ___Jerome___ ___Jerome___

Merci, j'ai refais l'exercice et j'arrive à ça aussi. Cependant, je n'arrive pas à trouver l'équation.. C'est ça mon gros problème, je n'arrive pas à appliquer la formule

Posté par ___Jerome___ ___Jerome___

C'est le dernier problème qu'il me reste à terminer sur mes 30 problèmes préparatoires et j'aimerais avoir une réponse pour celui-ci. J'aurai donc besoin de votre aide une toute dernière fois Merci

Posté par LeHibou LeHibou

Une droite de pente 1 passant par le point de coordonnées (3,6) a pour équation :
Y-6 = 1(X-3)
donc :
Y = 6 + X - 3
Y = X + 3

Posté par LeHibou LeHibou

Tiens, une autre démonstration, pour rire :
Une droite de pante 1 est de la forme y = x + a, donc x = y - a
L'équation de la parabole est x = y²/12
Le point essentiel de la démonstration :
L'intersection de la tangente à la parabole et de la parabole elle-même est un point double.
Cette intersection est donnée par :
y - a = y²/12
y² - 12y + 12a = 0
Cette équation a une racine double si et seulement si son discriminant est nul :
12² - 4*12*a = 0
a = 12²/(4*12) = 12/4
a = 3
Donc l'équation de la tangente est y = x + 3
Le point de contact est obtenu par :
y² - 12y + 12*3 = 0
y² - 12y + 36 = 0
(y - 6)² = 0
y = 6
et donc x = 6 - 3 = 3
Le point de contact est donc en (3,6)
On a bien retrouvé les résultats précédents.