Problème dû à Antoine de St-Exupéry

Posté par nxdcc nxdcc

Bonjour j'ai un probleme à une question de l'exercice. Pourriez vous m'aider??

Un pharaon décida d'ériger, en utilisant exclusivement des pierres taillées en cube de 10 cm de côté, une stèle massive géante en forme de parallélépipède rectangle dont la hauteur fut égale à la diagonale de la base. Il ordonna à un certain nombre de fonctionnaires de rassembler une part égale des matériaux exactement prévus pour l'érection de la stèle. Puis il mourut. Les archéologues ne retrouvèrent qu'un seul dépôts contenant 348 960 150 cubes de pierres. On sait également que les nombre total de dépôt est une nombre premier.Cette découverte leur permit cependant de calculer les dimensions de la stèle prévue. pour faire comme eux, répondre aux question suivante :

1.)Soient a et b dimensions de la base et c de la hauteur de la stèle. justifier que a,b et c entiers naturels tels que a²+b²=c².

pour cette question pas de problème!

2.)On admet :  a=2kmn ; b=k(m²-n²) ; c=k(m²+n²)
où m et n premiers entre eux, de parités différentes avec m>n
montrer que     2k³mn(m²-n²)(m²+n²)=348960150p

ici encore, pas de soucis

3.) Soit 348960150=23⁵5²711373
Examiner la parité de mn et motrer que p=2.

donc pour la parité c'est ok puisque m et n sont de parité différente donc mn est paire
mais après je n'arrive pas à montrer que p=2

quelqu'un pourrait-il m'aider??

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Nxdcc,

Je suppose que l'unité des dimensions a,b,c, est l'arête du cube ...
Là où tu en es arrivé, il faut évidemment travailler sur l'expression :
où, après simplification par , le facteur est pair, tous les autres impairs (montre-le) ...

Posté par Pierre_D Pierre_D

Je suis allé un peu trop vite : il suffit de remarquer (après la simplification) que le membre de gauche est pair et que tous les facteurs (autres que ) de celui de droite sont impairs.

Posté par nxdcc nxdcc

je vois le principe
jvais essayé de démontrer la parité

Posté par Pierre_D Pierre_D

Nxdcc,
Il te suffit de te reporter au 3.) de ton premier message !

Posté par nxdcc nxdcc

??????

Posté par nxdcc nxdcc

si un des facteur est paire alors toute la multiplication est paire?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Oui, par définition d'un nombre pair ...

Posté par nxdcc nxdcc

ok et donc après je dis ke p est pair et que p=2 car c'est le seul nombre pair premier

Posté par nxdcc nxdcc

bonsoir
je sais qu'il est tard mais j'ai un problème en math et ce n'est pas urgent!

toujours dans le même exercice la question suivante est :

Soit d un facteur premier de k. Montrer que d=3. Quelle est la seule valeur possible de k ?

pour le deuxième partie de la question c'est simple mais je ne vois pas comment démontrer que d=3
pourriez vous me mettre sur la voix svp

Posté par Pierre_D Pierre_D

Salut Nxdcc,

Je suis un peu comme toi, je ne vois pas l'intérêt, devant l'identité , de passer par une éventuelle factorisation de pour conclure que , vu que le seul facteur au cube dans le second membre est

Posté par nxdcc nxdcc

bonjour j'ai encore des problème avec cet exercice
à croire que ma logique est à remettre en question ^^

démontrer que m et n sont solution de l'équation

mn(m-n)(m+n)(m²+n²)= 23⁵5²711373

et la je bloque (comme d'habiude me direz-vous)
un peu d'aide s'il vous plait!!!

Posté par Pierre_D Pierre_D

Salut Antoine, pardon Nxdcc,

1) tu corriges : c'est à droite, puisqu'on a enlevé à gauche
2) ce n'est jamais que l'équation qu'on avait au pas d'avant , et d'où justement on a sorti et , et où on a transformé en , ce qui n'est pas un scoop !

Posté par nxdcc nxdcc

euh mais je ne peu pas corriger puisque c'est l'énoncé!!!!

Posté par Pierre_D Pierre_D

Ca laisserait entendre que revenir sur la question précédente ?

Posté par nxdcc nxdcc

beh oui je pense

Posté par nxdcc nxdcc

bon du coup j'avance pas là!!!

Posté par Pierre_D Pierre_D

Salut Nxdcc,

Je copie la partie d'énoncé qui nous intéresse ici :
"Soit d un facteur premier de k. Montrer que d=3. Quelle est la seule valeur possible de k ?"
J'en conclus que l'énoncé "s'attend" à ce que l'on montre que le seul facteur premier (autre que 1) de est 3; mais alors ne peut pas être égal à 1 ; et donc la simplification par de chaque côté ne peut pas conduire à : ,
mais conduit forcément à
Il semble donc bien y avoir là une incohérence interne dans l'énoncé, que je ne vois pas comment résoudre. Je ne vois d'ailleurs pas non plus comment choisir de fait entre et ...

Posté par nxdcc nxdcc

bonjour
je sais que  sa fait un petit moment déjà
mais j'ai enfin la réponse de mon prof qui ma dit qu'il y a effectivement une erreur d'énnoncé et qu'on a bien
mn(m+n)(m-n)(m²+n²)=2.3².5².7.11.373

Posté par Pierre_D Pierre_D

Merci, Nxdcc. D'un côté ça me rassure, et d'un autre ça m'inquiète !

Posté par nxdcc nxdcc

Bonjour
je suis toujours en train de m'arracher les cheveux sur cette question

au début je pars avec mon équation :
2k³mn(m²-n²)(m²+n²)=2.3⁵.5².7.11.373.p

avec les question j'en arrive à voir que k³=3³

on arrive à :

mn(m²-n²)(m²+n²)=2.3².5².7.11.373

et hum ... je me sent bête mais je n'arrive pas à montrer que m et n sont solutions de l'équation...

Posté par Pierre_D Pierre_D

Nxdcc,

On peut conjecturer (mais il faudrait le montrer proprement) que (m²+n²)=373 ; ensuite, c'est simple car 373 est d'une façon unique (il n'y a que 18 vérifications à faire) la somme de deux carrés (avec m>n) : m=18 et n=7, et ça colle avec l'équation :
mn(m+n)(m-n)(m²+n²) = 2.3² . 7 . 5² . 11 . 373