Décomposition d'une fraction rationnel

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Décomposition d'une fraction rationnel

Posté le 12-03-10 à 18:04

Posté par griffin57

Bonjour on me demande de décomposer cette fraction: F(X)= 1+X^4/1+X^6 sur C , je pensse qu'il faut utiliser les exponentielles mais je n'arrive pas a aller plus loin merci d'avance.

re : Décomposition d'une fraction rationnel

Posté le 12-03-10 à 18:22

Posté par gui_tou

Bonjour,

Décompose 1+X^6 dans R, puis fais une décomposition classique.

re : Décomposition d'une fraction rationnel

Posté le 13-03-10 à 09:06

Posté par jft91

Bonjour,
Tu peux aussi décomposer 1+X⁶ à l'aide des racines 6ièmes de -1 : 1+X⁶ = (X-i)(X+i)(.. Les racines sont 2 à 2 conjuguées.Puis : $\frac{1+X^{4}}{1+X^{6}} = \frac{A}{X-i} + \frac{B}{X+i} + ..$ .
Tu multiplies ensuite les 2 membres par X-i : $\frac{1+X^{4}}{(X+i)(...} = A + f_{i}(X)$ où $f_{i}(X)$ est une fonction rationnelle qui s'annule pour X = i.Tu remplaces X par i dans les 2 membres d'où A et tu recommences pour avoir B, C,...

re : Décomposition d'une fraction rationnel

Posté le 14-03-10 à 09:49

Posté par griffin57

Je ne comprend pas vraiment votre méthode

re : Décomposition d'une fraction rationnel

Posté le 14-03-10 à 10:50

Posté par jft91

Les racines 6èmes de -1 sont : i, -i, e^i/6, e^-i/6, e^5i/6, e^-5i/6.On a donc une factorisation de 1+X⁶.Le quotient s'écrit alors : $\frac{A}{X -i}+\frac{B}{X+i}+..$ .On multiplie les 2 membres par X-i : $\frac{1+X^4}{1+X^6}.(X-i) = A + (X-i).(\frac{B}{X+i}+..)$ .On simplifie haut et bas du 1er membre par $X -i$ .On obtient : $\frac{1+X^4}{(X+i)(X-e^{i\pi}{6})(..)}$ Puis on remplace X par i : $\frac{1+i^4^}{2i.(i-e^{i\pi}{6})(..)} = A$ .il y a de fortes chances pour que A et B soient conjugués d'où en fait seulement 3 calculs (A,C,E)

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