Triplet pythagoricien

Posté par fatma59 fatma59

Bonjour voici un DM qui me pose problème pouvez vous m'aider s'il vous plait merci
Voici l'énoncé :

On dit que 3 nombres a,b,c entiers naturels non nuls forment un triplet pythagoricien s'il vérifient la relation a²+b²=c²

Par exemple (3,4,5) est un triplet pythagoricien.

1.A l'aide d'un tableur rechercher des valeursde l'entier b telles que a²+b² soit un carré parfait dans les 3 cas suivants :

a=5                      a=6                       a=7

Donner trois exemples de triplets pytahgoriciens.

2. On cherche d'autres triplet pythagoriciens

  a. A l'aide d'un tableur organiser le calcul de (m²+1)²-(m²-1)² pour tous les nombres entiersn compris entre 1 et 10

  b. Faire une conjecture concernant la différence (m²+1)²-(m²-1)²

3. a .Développer les expressions (m²+1)²et (m²-1)²
   b. En déduire que pour tout m entier supérieur ou égal à 2 : (m²-1.2m,m²+1) est un triplet pythagoricien .
                                           merci de m'aider svp  

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Fatma,

Où es-tu bloquée ? Je suppose que tu sais te servir d'un tableur, et donc que tu peux traiter la question 1) et la question 2).
La question 3), plus proprement mathématique et très simple à traiter, rend d'ailleurs l'intérêt de cette question 2) très relatif.

Posté par fatma59 fatma59

Mais le problème c'est que je ne sais pas quoi inscrire dans le tableau pour avoir la réponse

Posté par Pierre_D Pierre_D

Pour , et pour des valeurs de croissantes depuis 1 jusqu'à -disons- 50, tu calcules et tu vérifies si sa racine carrée est entière ; si oui, tu as trouvé un triplet pythagoricien.
Tu feras ensuite pareil pour a=6, puis pour a=7 ...

Posté par fatma59 fatma59

Mais le b² c'est quoi ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Fatma,
Ta question me laisse un peu perplexe ; disons que est le carré de et donc égal à , comme est le carré de et donc égal à .
(rappel : ici sont des entiers positifs)

Posté par fatma59 fatma59

Si a=5
Et que b=12 (je l'ai choisi au hasard
a²+b²=c²
5²+12²=c²
25+144 = 169
Et racine carré de 169 =13 c'est bon

Posté par Pierre_D Pierre_D

Parfait, Fatma, tu peux passer à a=6, en explorant les valeurs de b depuis 1 jusqu'à ce que tu en trouves une qui convienne.

Posté par fatma59 fatma59

pour a=6
b=8
c²=100
racine carré de 100=10

pour a=7
b=24
c²=625
racine carré de 625=25

Posté par Pierre_D Pierre_D

C'est ça, Fatma.

Posté par fatma59 fatma59

Et pour la suite

Posté par Pierre_D Pierre_D

Fatma,

Pour la 2), je te conseillerai de faire une colonne pour les valeurs de m (de 1 à 10), une pour les valeurs correspondantes de m² (ça sera utile pour ta conjecture),une pour les valeurs correspondantes de (m²+1)²-(m²-1)².
Pour la 3), fais simplement ce que te dit l'énoncé.

Posté par fatma59 fatma59

Pour la 2 j'ai fait cela:

m=1 (1²+1)²-(1²-1)²=4-0 =4
m=2 (2²+1)²-(2²-1)²=25-9=16
m=3   ''    ''     =100-64=36
m=4   ''    ''     =289-225=64
m=5   ''    ''     = 676-576=100
m=6   ''    ''     =1369-1225=144
m=7   ''    ''     = 2500-2304=196
m=8   ''    ''     =4225-3969=256
m=9   ''    ''     =6724-6400 =324
m=10  ''    ''     = 10201-9801=400
C'est bon ??

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bien sûr, c'est bon, Fatma ; maintenant compare le résultat de chaque ligne à m².

Posté par fatma59 fatma59

Ben on peut dire que ce sont tous des carré
4 carré de 2
16 carré de 4 ...

Posté par Pierre_D Pierre_D

Oui, et plus précisément le carré de 2m, ou quatre fois le carré de m.

Posté par fatma59 fatma59

Okey pour le 3
(m²+1)²
m²+1+m²+1
2m²+2

et (m²-1)²
m²+1-m²+1
0m+2

et la suite je ne comprend pas

Posté par Pierre_D Pierre_D

Non, Fatma ; que donne le développement de (a+b)² quand a=m² et b=1 ?

Posté par fatma59 fatma59

(a+b)²
(m²+1)²
m²+1+m²+1
2+2m²

Posté par Pierre_D Pierre_D

Donne-moi le développement (identité remarquable) de (a+b)², sans confondre avec 2(a+b) comme tu l'as fait dans ton message ci-dessus !
(a+b)²=(a+b)x(a+b)
2(a+b)=(a+b)+(a+b)

Posté par fatma59 fatma59

m²+1*m²+1
1+2m²

Posté par Pierre_D Pierre_D

Fatma, il faut sérieusement te replonger dans les bases ; tu ne peux plus te permettre de confondre addition et multiplication, ou multiplication et puissance, ni d'oublier des parenthèses absolument nécessaires.
L'identité remarquable (a+b)² = a²+2ab+b² est d'ailleurs très facile à démontrer :
(a+b)²=(a+b)x(a+b) (et non a+bxa+b comme tu l'écris dans ton message de 12H32) soit, en distribuant : (a+b)²=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b².
Applique-la ici.

Posté par fatma59 fatma59

(m²+1)²
(m²+1)*(m²+1)
2m²+m²+m²+1
2m²+2m²+1
4m²+1

Posté par Pierre_D Pierre_D

Fatma, Fatma, m²*m² ne vaut pas 2*m² ; tu confonds encore addition et multiplication !

Posté par fatma59 fatma59

4m²

Posté par Pierre_D Pierre_D

Non

Posté par fatma59 fatma59

2m^4 ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Pourquoi 2 ? Là tu "mélanges" addition et multiplication !

Posté par fatma59 fatma59

Ah je suis perdu la J'avai complétement oublier !!
Donc (m²+1)²=m^4+1
et (m²-1)²= (m²-1) * (m²-1)
         =m^4 -m² -m² +1
         =m^4+1

Posté par Pierre_D Pierre_D

Ton (m²+1)² est faux.
Ton (m²-1)² est juste jusqu'à l'avant dernière ligne, puis tu fais une bête faute de signe.

Posté par fatma59 fatma59

Pour (m²+1)² = m^4+2m²+1
(m²-1)=m^4 -m²-m²+1
      m^4 -2m²+1

Posté par fatma59 fatma59

C'est bon ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

OUI !!!

Posté par fatma59 fatma59

Oufff !!
Et comment je fais pour la dernière ??

Posté par Pierre_D Pierre_D

Je te suggère de calculer (m²+1)²-(m²-1)², et tu devrais arriver au bout .

Posté par fatma59 fatma59

okey

Posté par fatma59 fatma59

m^4+2m²+1-m^4-2m²+1
=2

Posté par fatma59 fatma59

Quelqu'un pourrait me vérifier cela s'il vous plait c'est urgent

Posté par Pierre_D Pierre_D

Erreur de signe

Posté par fatma59 fatma59

c'est -2 alors ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Non, et j'aurais mieux fait d'écrire "Erreurs de signe"

Posté par fatma59 fatma59

Pourquoi ??

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Fatma

Que vaut -(m^4-2m^2+1) quand on développe en enlevant les parenthèses ?

Posté par fatma59 fatma59

+m^4+2m²-1

Posté par fatma59 fatma59

D'abord merci de tous votre aide vous m'avez fait comprendre l'exercice mais j'ai pas envie d'être malpolie mais le je dois aller en cour et j'ai besoin de cette exercice

Posté par Pierre_D Pierre_D

Fatma,





Soit enfin :