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Exercice Suites / Primitives

   
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#msg2930029 Posté le 13-03-10 à 02:57
Posté par ProfilSynergie972 Synergie972

Salut !

Me voilà avec un nouvel exercice, et toujours quelques problèmes^^ J'espere que vous aurez l'amabilité de bien vouloir m'épauler.. ^^"

Voici l'énoncé, court.. mais costaud :



Soit (I_n) la suite d'intégrales définie pour 3$n\in\mathbb{N} par 3$I_n=\int_0^{\pi}e^{-nx}sin(x)dx

a. Etudier les varions de 3$I_n

Là.. il faut calculer l'intégrale, I_{n+1}-I_n ou bien directement le signe de ce qui a sous l'intégrale ?

b. Montrer que pour 3$n\ge 1, 3$|I_n|\le\frac{1}{n}(1-e^{n\pi})

Je n'y arrive pas..

c. En déduire le comportement de 3$I_n lorsque 3$n tend vers 3$+\infty

Je ne comprends pas comment on peut utiliser une valeur absolue pour étudier la suite...


Merci de m'éclairer s'il vous plaît...
re : Exercice Suites / Primitives#msg2930034 Posté le 13-03-10 à 03:17
Posté par Profilolive_68 olive_68

Salut

1. En étudiant le signe de 3$I_{n+1}-I_n (sans faire le calcul de l'intégrale) tu peux le prouver

2. Tu peux essayer une IPP et ensuite de majorer l'exponentielle (Tu as pas oublié un signe - ?)

3. La réponse du 2 t'aidera surement à comprendre
re : Exercice Suites / Primitives#msg2930401 Posté le 13-03-10 à 12:50
Posté par ProfilSynergie972 Synergie972

1. Merci beaucoup, je trouve, en utilisant la linéarités et en factorisant :
3$I_{n+1}-I_n=\int_0^\pi e^{-nx}sin(x)(e^{-x}-1)dx
Or,
3$e^-x-1\le 0 sur 3$[0;\pi]
3$sin(x)\ge 0 sur 3$[0;\pi]
3$e^{-nx}\ge 0 sur 3$[0;\pi]

Donc 3$I_n est strictement décroissante sur 3$[0;\pi]


2. J'ai tenté une double IPP, et je trouve au final :
3$|I_n|=\frac{e^{-n\pi}+1}{n^2+1}
Je crois que je manipule mal la valeur absolue.. car là.. je sais pas du tout comment m'en sortir en majorant..

(Non, je n'est pas oublié le ' - ' mais il se peut qu'il y est une erreure dans l'énoncé ;o)
re : Exercice Suites / Primitives#msg2930876 Posté le 13-03-10 à 16:03
Posté par Profilolive_68 olive_68

C'est ça pour la 1.

Pour la 2. je maintiens qu'il manque un - car 3$1-e^{n\pi}<0 lorsque n est différent de 0, et c'est pas possible que la valeur absolue d'un nombre soit négative

Il faut démontrer que 3$|I_n|\le \fr{1}{n}\(1-e^{-n\pi}\) et la tu as juste à utiliser le fait que 3$-1\le \sin(x)\le 1 et ça marche
re : Exercice Suites / Primitives#msg2931318 Posté le 13-03-10 à 18:57
Posté par ProfilSynergie972 Synergie972

Merci.

Je n'est pas utilisé ce que tu m'a suggéré ( car je n'y arrivait pas ) alors j'ai essayé autrement :

3$n\ge 1

3$n^2\ge n

3$n^2+1\ge n+1\ge n

3$\frac{1}{n^2+1}\le \frac{1}{n}

3$\frac{e^{-n\pi}+1}{n^2+1}\le \frac{1}{n}(1+e^{-n\pi})

3$|I_n|\le \frac{1}{n}(1+e^{-n\pi})

Et... c'est pas le résultat demandé..
Franchement là.. je patoge ^^"

En ce qui concerne la question 3, doit on en déduire que la suite converge vers 0 ?
re : Exercice Suites / Primitives#msg2933187 Posté le 14-03-10 à 16:44
Posté par ProfilSynergie972 Synergie972

Petit up.. je ne trouve toujours pas :'(
re : Exercice Suites / Primitives#msg2933250 Posté le 14-03-10 à 16:55
Posté par Profilolive_68 olive_68

Désolé j'avais pas vu la réponse, si ton calcul de I_n est éxacte alors c'est juste mais je voyais plus simple :

3$-e^{-nx}\le e^{-nx}\sin(x)\le e^{-nx} on intègre entre zéro et pi et on a  3$\Bigint_0^{\pi} \ -e^{-nx} \ \text{d}x\le I_n\le \Bigint_0^{\pi} \ e^{-nx} \ \text{d}x soit 3$|I_n|\le \Bigint_0^{\pi} \ e^{-nx} \ \text{d}x

Or 3$\Bigint_0^{\pi} \ e^{-nx} \ \text{d}x=\[-\fr{1}{n}e^{-nx}\]_0^{\pi}=-\fr{e^{-n\pi}}{n}+\fr{1}{n}=\fr{1}{n}\(1-e^{-n\pi}\).

Mais bravo pour ta solution !!
re : Exercice Suites / Primitives#msg2933677 Posté le 14-03-10 à 18:14
Posté par ProfilSynergie972 Synergie972

Merci, en effet c'est beaucoup plus simple ^^" Je ne savais pas qu'on pouvait intégrer comme ça dans les inégalités :p C'est très bon à savoir MERCI

Sinon, pour la question 3, je ne sais trop quoi faire.. La suite est décroissante, donc montrer qu'elle est majorée ne permet pas de connaître sa limite...

Cependant, la valeur absolue permet-elle de résoudre ce problème ? Est-ce que la limite de In en plus l'infini est celle que l'on trouve pour l'autre partie ?
re : Exercice Suites / Primitives#msg2933707 Posté le 14-03-10 à 18:19
Posté par Profilolive_68 olive_68

Enfait on a fait la 1. et la 2. pour montrer que la suite est convergente donc que sa limite EXISTE (normalement on ne doit pas calculer une limite sans être sur quel existe)

Comme tu sais qu'elle existe tu peux passer à la limite dans l'inégalité du 2. essaye d'appliquer le Th des gendarmes
re : Exercice Suites / Primitives#msg2933851 Posté le 14-03-10 à 18:54
Posté par ProfilSynergie972 Synergie972

Ah, voilà pourquoi tu disais que la question 2 aiderait. Car on passe sous un forme avec le théorème des gendarmes...

Merci beaucoup ^^"

(La limite vaut bien 0 non? ^^)
re : Exercice Suites / Primitives#msg2934050 Posté le 14-03-10 à 19:57
Posté par Profilolive_68 olive_68

Et oui

Je t'en prie (Oui oui ça fait bien zéro )

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