Fonctions usuelles

Posté par tony2nc tony2nc

Bonjour, Bonsoir

Me revoilà un problème sur la deuxième partie de mon exercice... j'espère que quelqu'un pourra m'être d'une quelconque aide car je suis bien bloqué... Voici l'énoncé:

Partie I

1. Etudier lz fonction coth définie par coth x =ch x /sh x . Tracer sa courbe.
2. a)Montrer que la restriction de la fonction coth à ]0;+oo[ possède une fonction réciproque, notée Argcoth. On donnera l'ensemble de définition de cette fonction, et son sens de variation
   b)Tracer la courbe de cette fonction
3. a)Soit y]1;+oo[. Résoudre l'équation cothx=y
   b)En déduire une expression de Argcoth à l'aide des fonctions usuelles.
4. Justifier que la fonction Argcoth est dérivable sur , et calculer sa dérivée.
5. Calculer I=(1/(1-x²),x,2,3) et J=(1/(1-x²),x,0,1/2)


Partie II

1. Etudier la fonction sec définie par  sec x = 1 / cos x (ensemble de définition D, ensemble d'étude De, dérivée, tableau de variation sur De). Tracer sa courbe sur ]-/2;3/3]D

2.Montrer que la restriction de la fonction sec à [0;/2[ possède une fonction réciproque, notée Arcsec. On donnera l'ensemble de définition de la fonction Arcsec, et son sens de variation.

3. On admet que la fonction Arcsec est dérivable sur \{1}. Donner une expression de la dérivée de Arcsec ne faisant pas intervenir la fonction Arcsec.
Tracer la courbe de la fonction Arcsec dans la figure 1.

4.Etudier la dérivabilité de la fonction f: xArctan(x²-1). Calculer f'(x) et en déduire une expression de Arcsec à l'aide de fonctions usuelles.



Pour la partie I aucun problème mais pour la partie II dès la première question je bloque...
Je trouve que D=]-oo;-/2[]-/2;/2[]/2;+oo[
De plus la fonction secante est paire car sec(-x)=x  et 2-périodique car sec(x+2)=sec(x)
On peut donc réduire notre champ d'étude à De=[0;/2]
La fonction sec est dérivable car cos est dérivable et (secx)'=sinx/cos²x
je n'arrive pas à voir le tableau de variation ni tracer la courbe et ensuite je bloque...

Je vous remercie d'avance pour votre aide éventuelle!

Posté par tony2nc tony2nc

Je me suis tromper en recopiant mon énoncé pourla première question de la partie II:

1. Étudier la fonction sec définie par  sec x = 1 / cos x (ensemble de définition D, ensemble d'étude De, dérivée, tableau de variation sur De). Tracer sa courbe sur ]-/2;3/2]D

Posté par LeHibou LeHibou

Bonjour,

Pour II,1), tu dois exclure de l'ensemble de définition tous les points de pour lesquels le cosinus s'annule, il y en a beaucoup plus que deux...

Posté par tony2nc tony2nc

Comment puis je faire alors pour tous les donner dans l'ensemble de définition?

Posté par LeHibou LeHibou

D = - {/2 + k, k}

Posté par tony2nc tony2nc

Merci beaucoup j'ai compris!

1)On a secx=1/cosx
Conditions: cosx0 donc x/2 []
On a donc D=-{/2 + k, k}
De plus la fonction sécante est paire car sec(-x)=x  (donc symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) et 2-périodique car sec(x+2)=sec(x)
On peut donc réduire notre champ d'étude à De=[0;]
La fonction sec est dérivable car cos est dérivable et (secx)'=sinx/cos²x
On en déduit donc le tableau de variation de f:

x |0    /2    |
f'|    +  ||   +   |
f |   /   ||   /   |

Je trace donc la fonction sur [-/2;3/2]


2)La fonction sécante est définie et strictement croissante et continue sur [0;/2[. La restriction à l'intervalle [0;/2[ est donc une application bijective de  [0;/2[ dans [1;...[  (ici je n'arrive pas à savoir comment trouver l'intervalle... de façon sur...)
En suite je dis que la fonction sécante admet donc une fonction réciproque continu et strictement croissante sur [1; ...  que l'on note Arcsec.
y=Arcsecx        x=secy
x[1;...          y[0;/2[
Je ne trouve donc pas l'ensemble de de définition de la fonction et comment formuler cela...


3) Là je ne vois pas comment procéder sans faire intervenir Arcsec...

4) Là non plus je n'arrive à rien...

Merci d'avance pour votre aide

Posté par choubakus choubakus

Même sujet de devoir , est ce qu'on pourrait m'expliquer comment calculer l'intégral J à la question 5 de l'execice n°1. Merci d'avance

Posté par tony2nc tony2nc

Je ne sais pas si le tracé de cette courbe est juste d'après ce qu'il demande à la question 1) [-/2;3/2]D

Posté par tony2nc tony2nc

Voici mon tracé

Posté par LeHibou LeHibou

Ce tracé de courbe est exact.

--> choubakus
Tu peux écrire 1/(1-x²) = a/(1+x) + b/(1-x), tu trouveras a et b par identification

Posté par tony2nc tony2nc

Merci pour le tracé! Mais pour ce qui précède est ce juste? comment puis je avancer? est ce que vous avez une méthode pour pouvoir déterminer la l'intervalle d'une fonction réciproque ? Je n'avance plus, je patauge dans cette deuxième partie...

Posté par choubakus choubakus

Donc avec a = b = 1/2 ça fonctionne ? Et on trouve 1/2 ( ln 3)  ? Merci d'avance