Division euclidienne de polynôme

Posté par benji benji

Bonjour à tous,


J'ai un problème pour factoriser un polynôme, voici l'énoncé:
n , montrer que A = (X-1)ⁿ⁺² + X²ⁿ⁺¹ de [X] est divisible par B = X²-X+1,

J'écris la division euclidienne de A par B et on cherche R:

A = B.Q + R
(X-1)ⁿ⁺² + X²ⁿ⁺¹ = (X²-X+1) Q + R
(X-1)ⁿ⁺² + X²ⁿ⁺¹ = (X²-X+1) Q + (aX + b)

Maintenant, je dois trouver les zéro de B, pour cela il convient de factoriser B, B peut être factoriser en (X-1)² - (1/2) mais cette notation reste compliquée à utiliser, il faudrait donc utiliser les complexes mais je ne vois pas comment faire, je sais juste que 1+X+X² admet pour racine j.

Si quelqu'un à une idée...

Merci à tous.

Posté par spmtb spmtb

bonjour
une petite recurrence en utilisant astucieusement
X ²ⁿ⁺³ = X ²ⁿ⁺¹ * X² avec
X² = X²-X+1  +X-1 par exemple

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Bonjour,

En factorisant B ?

et en montrant que A s'annule si et si .

Les notations trigonométriques de conviendraient parfaitement pour utiliser la formule de Moivre.


N.B.:

Ce n'est pas une factorisation puisque le résultat est une différence...