puissance et congruence

Posté par aafred aafred

Bonjour à tous j'ai besoin de votre aide pour résoudre cet exercice:

On suppose que a et d sont premiers entre eux. On note T la période de la suite  (a^n mod d) n>=0. Soit k appartient à N un entier positif ou nul. Montrer que a^k =(congru à) 1 mod d si et seulement si T divise k.

Posté par Narhm Narhm

Bonjour,

Tout d'abord, si T est la période de la suite , cela signifie que c'est le plus petit entier positif non nul tel que .

Pour plus de clarté on peut proceder par double implication.
¤ :
Supposons que T divise k, alors il existe un entier naturel q tel que k=qT.
Ainsi
En te servant du fait que T est la période de la suite u_n, montre que c'est bien congru à 1 (mod d).

¤ :
Comme T est non nul, on peut procéder à une division euclidienne de k par T.
Il existe q et r tels que k=qT+r, 0r<T.
Sur le même principe qu'avant ( c'est à dire car T est la période la suite u_n ) , déduis en que c'est à dire que T divise k.

Si tu as bien compris cela, tu peux voir qu'on aurait pu directement raisonner par équivalence.

_{Sauf erreurs...}