Arithmétique

Posté par maths16 maths16

Bonjour,j'ai un exercice à faire en arithmétique et voilà j'ai répondu à la plupart des question la moitié environ,mais à partir de la question 4) c'est le trou noir,j'ai réfléchis un moment dessus mais j'ai pas trouvé de conclusion,quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait?Merci d'avance

En l'an 2000,dans une ville de 40000 habitants,les études démographiques des années passées permettent de voir que ,de manière régulière,10% de la population quitte la ville chaque année,et que 5000 nouveaux arrivants s'y installent.
1)En supposant que le phénomène perdure,calculer le nombre d'habitants pour les quatre années,à venir.
Réponse:On me donne U0=40000,ensuite pour 2001 jusqu'à 2004 je fais
U1=U0-(10/100)U0+5000=U0(1-10/100)+500…
U2=U1-(10/100)U1+5000=U1(1-10/100)+500…
U3=U2-(10/100)U2+5000=U2(1-10/100)+500…
U4=U3-(10/100)U3+5000=U3(1-10/100)+500…

2)a)Si l'on note Un le nombre d'habitants n années après l'an 2000,montrer que l'expression de Un+1 en fonction de Un est: Un+1=0,9*Un+5000
Réponse:La valeur Un+1 est égale à Un moins 10% plus 5000 de cette valeur,soit:
Un+1=Un-10/100*Un+5000=Un(1-10/100)+50…

b)La suite (Un) est-elle arithmétique?
La suite(Un) est-elle géométrique?
Réponse:Non,la suite(Un) n'est pas arithmétique.Car,si l'on regarde les trois premiers termes de la suite,on voit que l'on ajoute 1000 pour passer de U0 à U1 et 900 pour passer de U1 à U2.Ce n'est dont pas constant.
Non,la suite n'est pas géométrique.Car,si l'on regarde les trois premiers termes de la suite,on voit que le quotient U1/U0 est différent du quotien U2/U1.En effet U1/U0=41000/40000=1,025 alors que U2/U1=1,022

3)On voit que la population semble augmenter,et on voudrait savoir si elle va atteindre(ou dépasser)50000 habitants et si oui,quand.
La suite (Un) n'étant pas très facile à étudier,on s'intéresse au nombre d'habitants qu'il manque pour faire 50000 habitants.
Réponse:En 2000,R0=50000-40000=10000
En 2001,R1=50000-41000=9000
En 2002,R2=50000-41900=8100
En 2003,R3=50000-42710=7290.

4)On note Rn le nombre d'habitants manquant n années après l'an 2000 pour faire 50000 habitants.
a)Exprimer Rn en fonction de Un et Rn+1 en fonction de Un+1
Réponse; Au rang n, Rn c'est le nombre d'habitants qui manquent pour arriver à 50 000 et u(n) c'est le nombre d'habitants cette année là,soit: R(n)=50 000-Un mais j'ai un peu de mal pour Rn+1 en fonction de Un+1.
A l'aide de la question 2)a) montrer que:
Rn+1=0,9*Rn
En déduire la nature de la suite (Rn) et l'expression de Rn en fonction de n.
b)Combien manquera-t-il d'habitants en 2010 pour faire 50000?(on arrondira)
c)Combien y aura-t-il d'habitants en 2050?(on arrondira)
Pourra-t-on dépasser les 50000 habitants ?Si oui,en quelle année?
5)A partir de 40000 habitants,il faut ouvrir une classe nouvelle d'école primaire par tranche de 2000 habitants supplémentaires.
Indiques les années où il faudra ouvrir une nouvelle classe.

Posté par maths16 maths16

U1=U0-(10/100)U0+5000=U0(1-10/100)+5000=U0*0.9+5000=40000*0.9+5000=36000+5000=41000
U2=U1-(10/100)U1+5000=U1(1-10/100)+5000=U1*0.9+5000=41000*0.9+5000=36900+5000=41900
U3=U2-(10/100)U2+5000=U2(1-10/100)+5000=U2*0.9+5000=41900*0.9+5000=37710+5000=42710
U4=U3-(10/100)U3+5000=U3(1-10/100)+5000=U3*0.9+5000=42710*0.9+5000=38439+5000=43439


Rn+1 en fonction de Un+1
Réponse:R(n+1)=50 000-U(n+1)

Posté par maths16 maths16

s'il vous plait personne peut m'aider?

Posté par Labo Labo

Bonjour

suite géométrique de raison 0,9
2010==>n=10
R_10=0,9^10R_0=0,9^10*10000\approx3487
en 2050
R_50=0,9^50\time 10000\approx 52
en 2050 la population :49 948
lim de 0,9^n=0 donc R_n tend vers 0
population tend vers 50000 , mais pas au delà
5) à l'aide d'un tableur tu trouveras les années

Posté par Labo Labo


population tend vers 50000 , mais pas au delà
5) à l'aide d'un tableur tu trouveras les années

Posté par maths16 maths16

merci d'avoir répondu mais j'ai pas tres bien compris quand vous dites:lim de 0,9^n=0 donc R_n tend vers 0

Posté par Labo Labo

la suite Rn est une suite géométrique de raison 0,9<1 donc sa limite est nulle

Posté par maths16 maths16

merci

Posté par maths16 maths16

mais cette constatation prouve que la population va se stabiliser à 50000. Mais ce qu'on me demande sa serait pas:Se peut-il par exemple qu'elle atteigne un jour 51 000 et qu'ensuite elle se stabilise à 50000 non ??

Posté par Labo Labo

elle ne la suite Rn tend vers 0 elle ne peut pas devenir négative...
fais un tour sur un tableur...

Posté par maths16 maths16

je vois,je crois que j'ai compris

mais pour la question 5
on me donne un tableau avec d'un côté la 1ère nouvelle classe,la 2ème nouvelle classe.. et à côté les années ,et me demande juste de le remplir,mais par exemple la 1ere nouvelle classe devra etre ouvert en 2003,la 2ème je peux pas vraiment le savoir ?

Posté par Labo Labo

tu  utilises un tableur excel
2003
2005
2009
2016  

Posté par maths16 maths16

je prends en compte,merci beaucoup pour votre aide!