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Application inégalité de Cauchy Schwarz

   
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premièreApplication inégalité de Cauchy Schwarz

#msg2930505 Posté le 13-03-10 à 13:40
Posté par Profilladiiie ladiiie

Bonjour. J'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre... Merci de bien vouloir me donner JUSTE des pistes

Il faut prouver que :
x
x^2+y^2+1 > x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}

Et il faut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Tout d'abord j'ai voulu essayer d'exprimer x²+y²+1 comme le produit de nombres réels ai et bi

Soit :

(a1+a2)(b1+b2)

mais je ne vois pas trop. Après j'ai essayé de trouver l'égalité suivante :

(a[sub]1b1+a2b2)² = x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}

mais là pareil, je trouve toujours un membre en trop... Voilà merci de me donner des pistes
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2930523 Posté le 13-03-10 à 13:46
Posté par Profilladiiie ladiiie

Citation :
(a1²+a2²)(b1²+b2²)
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2930612 Posté le 13-03-10 à 14:14
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Bonjour

Ca marche tout seul...

Prends A=(x,\sqrt{y^2+1}) et B=(\sqrt{y^2+1},x). Cauchy-Schwarz donne

2x\sqrt{y^2+1}\leq x^2+y^2+1

Tu recommences avec C=(y,\sqrt{x^2+1}) et D=(\sqrt{x^2+1},y) et tu trouves

2y\sqrt{x^2+1}\leq x^2+y^2+1

Reste à faire l'addition!

Je n'ai pas réfléchi à l'inégalité stricte...
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2930630 Posté le 13-03-10 à 14:18
Posté par Profilladiiie ladiiie

Merci bien ^^
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2930667 Posté le 13-03-10 à 14:30
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Pourquoi as-tu classé cet exo en 1ère?
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2931489 Posté le 13-03-10 à 20:14
Posté par Profilladiiie ladiiie

Car je suis en première ^^
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2932892 Posté le 14-03-10 à 15:39
Posté par Profilladiiie ladiiie

Pour l'inégalité strict je pense avoir trouvé

On a

2$x = \sqrt{y^2-1}
2$y = \sqrt{x^2-1} donc  2$x^2+y^2=x^2+y^2+2 ce qui donne l'inégalité stricte.

??
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2932909 Posté le 14-03-10 à 15:44
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

C'est plutôt x^2+y^2=x^2+y^2-2 mais c'est tout aussi impossible... donc c'est OK.

Cauchy-Schwarz en première?
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2933026 Posté le 14-03-10 à 16:13
Posté par Profilladiiie ladiiie

Non on ne voit pas en cours mais c'est un exercice qui est sur un site où il propose des entrainement pour concours (style OIM et il y avait ça)
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2933112 Posté le 14-03-10 à 16:30
Posté par ProfilCamélia Camélia Correcteur

Ah bon... Alors bon courage!
re : Application inégalité de Cauchy Schwarz#msg2933866 Posté le 14-03-10 à 19:00
Posté par Profilladiiie ladiiie

Eh bien merci bien

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