Matrices - Diagonalisation

Posté par BastocheV BastocheV

Bonjour,

   Je bloque sur une question toute bête à mon avis.

Soit une matrice An telle que A³ = In. La matrice A est-elle diagonalisable sur ?

Merci pour vos réponses!

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

C'est loin d'être une question bête... Quelles peuvent bien être les valeurs propres réelles d'une matrice telle que ? Si elle est diagonalisable que vaut-elle?

Pour finir, calcule pour



Pourquoi ai-je choisi cette matrice?

Posté par BastocheV BastocheV

Justement ce sont les valeurs propres qui m'échappent totalement.
Bien entendu si elle est diagonalisable, la matrice aura seulement ses valeurs propres sur la diagonale.

Posté par Camélia Camélia

Si est valeur propre, Il existe X non nul tel que . Mais alors donc donc . La matrice n'a pas les valeurs propres sur la diagonale mais est semblable à une matrice diagonale ayant les-dites valeurs propres sur la diagonale. Donc ici...

Posté par Camélia Camélia

Je viens de voir des erreurs dans ma matrice... Bien sur il s'agit de

Posté par BastocheV BastocheV

Donc la matrice A (non diagonalisée) possède un déterminant égal à 1, d'où votre forme pour A avec un déterminant égal à 1 j'imagine?

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est vrai que la matrice est de determinant 1, mais n'importe quelle matrice de déterminant 1 n'a pas son cube égal à I.

Posté par BastocheV BastocheV

Oui c'est vrai mais au final, quelle devrait être la réponse exacte à la question posée?

Posté par jeanseb jeanseb

Bonjour (Camélia semble déconnectée)

Le post de 15h 31 donne presque la réponse:

Si est valeur propre, alors (dans IR ) = 1

Donc si la matrice est diagonalisable, elle s'écrit dans la base de diagonalisation avec que des 1 sur la diagonale: c'est donc la matrice identité. Et comme In s'écrit pareil dans toutes les bases, forcément A = In.