Equa diff resolution

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Equa diff resolution

Posté le 13-03-10 à 14:47

Posté par Hercule58

Bonjour j'ai le système suivant
x'=-8x+5y-5z+t
y'=-7x+4y-3z+e^-t
z'=3x-3y+4z-1

J'ai donc identifier Y'=AX+B
j'ai resolu l'equa homogène .
Pour la solution particulière j'ai un problème je ne sais pas trop comment m'y prendre
J'ai donc écrit :
Y'-AY=

₁(t;0;1)+

₂(0;e^-t;0)

Et j'ai cherché par schéma de linéarité
j'ai

₁=(t/(8t+6);0;-1/3t+4)

₂=(0;-1/5;0)

et je ne sais plus après comment faire. Merci d'avance

re : Equa diff resolution

Posté le 13-03-10 à 14:53

Posté par Camélia

Bonjour

Pour savoir de quelle forme sont les solutions particulières j'aimerais bien voir les solutions du système homogène...

Tu peux aussi regarder à la fin de cette fiche...

re : Equa diff resolution

Posté le 14-03-10 à 10:26

Posté par Hercule58

voici ma solution Homogene

x->

e^-3t+0-

e^2t
y->

e^-3t+

e^t+

e^2t
z->

e^t+3

e^2t

Je comprend pas trop le lien donner en fait mùais merci quand meme ^^

re : Equa diff resolution

Posté le 14-03-10 à 14:25

Posté par Camélia

Bon, comme ni $e^t$ ni $e^{2t}$ ni $e^{-3t}$ ne figurent au second membre, une solution particulière est de la forme

$(at+b)V+e^tW$

ou V et W sont des vecteurs. On procède par coefficients indéterminés...

re : Equa diff resolution

Posté le 15-03-10 à 18:33

Posté par Hercule58

Bonjour, merci de m'avoir repondu. durant la journée j'ai essayé une methode qui est similaire a la votre cad :

J'ai écrit :
Y'-AY=(t;0;1)+(0;e-t;0)
et je
cherche donc a résoudre

Mais je ne sais pas comment résoudre j'ai replacé mais j'ai un système avec beaucoup d'inconnu et je ne sais pas comment m'y prendre
Y'-AY=(t;0;1)
avec y1=at+b

merci d'avance
y2=ct+d
y3=et+f

ensuite je ferai de meme avec
Y'-AY=(0;e-t;0)
avec y1=Ae-t
y2=Be-t
y3=C e-t

re : Equa diff resolution

Posté le 16-03-10 à 14:12

Posté par Camélia

Pourtant c'est ce qu'il faut faire...

Pour l'exponentielle:

$\{-Ae^{-t}=(-8A+5B-5C)e^{-t}\\ \\ -Be^{-t}=(-7A+4B-3C+1)e^{-t}\\ \\ -Ce^{-t}=(3A-3B+4C)e^{-t}$

qui mène à

$\{7A-5B+5C=0\\ 7A-5B+3C=1\\ -3A+3B-5C=0$

Les deux premières équations donnent C=-1/2 et ce n'est pas très compliqué de finir...

re : Equa diff resolution

Posté le 17-03-10 à 11:17

Posté par Hercule58

merci !!

la je suis dans la resolution avec les at+b ....

j'arrive a ce systeme

-t+a+8b-5d+5f+8at-5(ct+et)=0
7b+cd+3f+7at-4ct+3ef=0
-3b+3d+e-4f-3at+3ct-4et-1=0

mais vu toutes les inconnus je ne sais pa trop comment procédé pour resoudre

re : Equa diff resolution

Posté le 17-03-10 à 15:04

Posté par Camélia

Je n'ai pas vérifié... Mais maintenant tu isoles tout ce qui contient des t, ça fait un premier système, puis tout ce qui est constant, ce qui fait un deuxième système!

Ca vient du fait que si pour tout t on a $\alpha t+\beta=0$ alors $\alpha=\beta=0$

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