DM suites et logarithme

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DM suites et logarithme

Posté le 13-03-10 à 15:46

Posté par matlogan05

Bonjour a tous , voilà j'ai un DM a faire pour ce lundi , et je suis totalement bloqué car je ne comprend pas tout à fait ce DM et j'ai bcp de mal avec les suites ..
$Un=(1+1/n)^n$
1. on considere la fonction f(x)=x-ln(1+x)
a) en étudiant les variations de la fonction f, montrer que $ln(1+x)<x$ FAIT
b) déduire que $ln(Un)<1$ PAS COMPRIS ( on parle de Un là , que faire ?)
c) La suite peut elle avoir pour limite +

?

2.On considère la suite (Vn) définie par $Vn=ln(Un$ )
a)on pose $x=1/n$ . Exprimer Vn en fonction de x.
b) que vaut lim(x-->0) $ln(1+x)/x$ . Aucune justification
Calculer lim(n-->+

) $Vn$
C) En déduire que la suite $(Un)$ est convergente et déterminer sa
limite.

merci d'avance

re : DM suites et logarithme

Posté le 13-03-10 à 15:51

Posté par Camélia

Bonjour

1.b) $\ln(U_n)=n\ln(1+(1/n))$ . En prenant x=1/n et en utilisant la première question, tu sais que $\ln(1+(1/n)) < 1/n$ donc $\ln(U_n) < 1$

1.c) Non, bien sur, puisque dans ce cas $\ln(U_n)$ tendrait aussi vers l'infini.

2. a) Remarque que $\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\ln(1+x)-\ln(1+0)}{x}$ et pense à une dérivée...

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