Limite de suite

Posté par Guillaume789 Guillaume789

Bonjour à tous,

voici l'énoncé d'un exercice un peu particulier, car il n'est pas guidé : il n'y a qu'une seule consigne.

"u est la suite définie sur * par son terme général :
u_n= 1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[n*(n+1)]

Étudier la limite de la suite u."

Donc j'ai déjà prouvé que la suite est strictement croissante et maintenant j'aimerais bien l'encadré : comme ça, je pourrais dire qu'elle converge car est les strictement croissante et majoré.

Mais pour cela, je pense qu'il faudrait que je transforme les quotients qui compose le terme u_n, mais je ne sais pas comment faire...

Pouvez-vous me guider svp ? et me dire si je suis sur la bonne voie svp ?

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par olive_68 olive_68

Salut

On peut écrire que .

Essayes de décomposer sous la forme où .

Posté par Guillaume789 Guillaume789

Ok je vois !
Je ne pense pas que j'aurais trouvé la forme tout seul.

Après calcul et résolution d'un système, je trouve a=1 et b=-1.
Donc u_n= [1/1 - 1/2] + [1/2 - 1/3] +...+ [1/n - 1/[n*(n+1)]
Après simplification on obtient u_n= 1 - 1/[n*(n+1)]

Seulement en ayant fait plusieurs test, ce u_n ne correspond pas au u_n donné au début de l'énoncé ...
Je pense avoir fait une erreur mais je ne vois pas où, pourrais-tu m'aider ?

Merci beaucoup pour ton aide.


Edit Coll : image supprimée et remplacée par le

Posté par olive_68 olive_68

Très bien

Tu as juste fais une faute au dernier terme, il faut aussi le décomposer sinon tu ne peux pas simplifier les 1/n

Posté par Guillaume789 Guillaume789

Ça c'est la fatigue

Donc du coup ben ça devient plus cohérent !

J'obtiens donc u_n = n/(n+1)

Du coup je démontre facilement que 0< u_n<1.

Comme la suite u est strictement croissante et majoré par 1, on en déduis qu'elle converge vers une limite L avec 0L1 (par passage à la limmite).

Mais si je veux utiliser le théorème des gendarmes, il me faudrait changer le 0 par quelque chose dont la limite est 1 quand n tend vers + inf ... Mais quoi ?

Merci pour ton aide

Posté par olive_68 olive_68

J'en doute pas ^^

Non pas besoin d'utiliser le th. des gendarmes, suffit largement à conclure

Posté par Guillaume789 Guillaume789

Dsl pour le double post, je ne sait pas comment éditer ...

En fait, je n'ai pas besoin d'utiliser le théorème des gendarmes, il me suffit de calculer la limite de u_n donc de n/(n+1) quand n tend vers +

lim u_n n+ = lim n/(n+1) n+ = lim n/[n(1+1/n) = n/n = 1

Donc pour résumer :
1) Je transforme u_n
2) Je montre que la suite est strictement croissante
3) Je montre que 0u_n1
4) J'en déduis que la suite u converge vers une limite L que j'encadre
5) Je calcule sa limite et je conclus

C'est bien ça ?

Posté par olive_68 olive_68

Personnellement j'aurais pas fais le 2 et le 3 mais c'est plus rigoureux ainsi (C'est une suite dont la limite se calcul facilement après transformation)