différentielle

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différentielle

Posté le 13-03-10 à 17:10

Posté par neves

bonsoir,

f fonction d'un ouvert U dans un evn E avec a élément de U et h,k de E.
dans mon cours:
$D_vf(a+uh+vk)_{v=0}=df_{a+uh}(k)$

je pense que cela vient de la dérivation composée (dérivation en chaine) donc rigoureusement il faut faire intervenir des bases mais j'ai des pb avec les notations:

je prend g(h,k)=a+uh+vk

D_v(fog)(h,k)= somme( ...) mais je ne m'en sors pas.

comment bien comprendre ces notations : genre je peux pas écrire $\frac{dg}{dh}$ ("avec des d ronds") enfin j'en sais rien ...

et pis en fait que se passe t-il formellement ?

merci

re : différentielle

Posté le 14-03-10 à 09:50

Posté par neves

.

re : différentielle

Posté le 14-03-10 à 10:41

Posté par neves

en clair je veux juste l'explication pour :

$\frac{\partial f}{\partial v}(a+uh+vk)_{v=0}=df_{a+uh}(k)$

re : différentielle

Posté le 14-03-10 à 14:57

Posté par Camélia

Bonjour

En fait je ne vois pas que signifie $\frac{\partial f}{\partial v}$ . f est une fonction définie sur U, donc en principe d'UNE variable.

Soit g l'application g(u,v)=a+uh+vk. On prend F=f o g.

Comme fonction de deux variables

$dF_{(u,v)}(t,w)=\frac{\partial F}{\partial u}(u,v)(t)+\frac{\partial F}{\partial v}(u,v)(w)$

Par ailleurs, comme fonction composée

$dF_{(u,v)}(t,w)=df_{g(u,v)}(dg_{u,v)}(t,w))=df_{a+uh+vk}(th+wk)$

En prenant t=0, v=0 et w=1 on trouve

$df_{a+uh}(k)=\frac{\partial F}{\partial v}(u,0)(1)$

et c'est probablement ce dernier terme qui est bizarrement écrit dans ton énoncé...

re : différentielle

Posté le 14-03-10 à 20:18

Posté par neves

bonjour Camélia et merci.

je met le contexte de cette expression:

on se donne f : U --> E de classe C^2, B une base de E (evn ) a élément de U et h et k vecteurs de E.

on fait on veut montrer que $d^2f_a(h,k)=\frac{\partial^2}{\partial u \partial v}f(a+uh+vk)_{u=v=0}$ sachant que l'on définit

$d^2f_a(h,k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nh_ik_j\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j}$

donc d'abord que signifie le u=v=0 ? u et v sont des vecteurs et il me semblait que quand on utilisait $\frac{\partial }{\partial x}$ c'était la dérivée par rapport à des vecteurs de base or ça n'a pas l'air d'être le cas. enfin bref je devine qu'il s'agit des variables de f ie on a f(u,v).

sinon pour ton post je ne comprend pas ta première égalité. dF_(u,v) est une fonction lin"aire d'une seule variable ?

re : différentielle

Posté le 14-03-10 à 21:30

Posté par neves

.

re : différentielle

Posté le 14-03-10 à 22:16

Posté par Camélia

Je crois que toute la confusion vient des notations... Ils ont l'air de noter $\frac{\partial f}{\partial v}f(a+uh+vk)$ la dérivée par rapport à v de la fonction composée (je trouve ça très mauvais). C'est pourquoi je l'ai appelée F et j'ai bien aobtenu le résultat.

F est une fonction du couple (u,v), donc $dF_{(u,v)}$ est une application linéaire dont l'argument est aussi un couple que j'ai noté (t,w) par manque de lettres...

Ca a un sens de prendre la différentielle ou une dérivée partielle pour (u,0). (Le cas v=0)

En fait en regardant bien ton énoncé, on dirait bien que u et v sont des scalaires...

Il faudrait l'expliciter entièrement en dimension 2...

re : différentielle

Posté le 15-03-10 à 17:43

Posté par neves

u et v sont des scalaires, ça m'a l'air de passer maintenant.

merci

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