Exercice complexe : Théorème de Ptolémée

Posté par eulerette eulerette

Bonjour, j'ai trouvé cet exercice, et dès la première question, je bloque  xD . J'aurai pu en choisir un plus facile, mais ça ne serait pas rigolo =), donc, je tiens quand même à le faire . Merci d'avance pour votre aide .

Voilà  la tête qu'il a :

On dira qu'une application f est involutive si et seulement si f o f = Id. Quatre points A, B, C et D sont cocycliques s'ils appartiennent au même cercle G. On montre que quatre points A,B, C et D sont cocycliques si ( AC, AD ) = (BC, BD)(p ) (attention, ce sont des angles de droites…).

On désigne par P le plan complexe, par le point d'affixe i et P'=P - {}. M un point quelconque de P' a pour affixe z.
Pour tout réel non nul m, on désigne par f_m l'application de P' dans P' telle que:
f_m: M(z) M'(z')/z'....( voir (1) ) (ou bien : f_m(z)= i++i)]
      

1. On suppose m donné. Montrer que f_m est involutive. Déterminer l'ensemble de ses points ivariants. Démontrer que pour tout point M de P',les points , M, M' sont alignés et que (2)(produit scalaire).

2. Soit m et deux réels non nuls. Pour tout point M de P', on désigne par M' le point f_m(M) et par M'' lepoint f (M') . Montrer que M'' est l'image de M par une transformation que l'on précisera. Quelle est la nature de cette transformation ?

3. Le nombre m est toujours supposé fixé. Soit A, B, C, D quatre points distincts de P', d'affixes respectives a, b, c et d. On appelle birapport de ces quatre points (noté (A, B, C, D) ) le nombre complexe [(c-a)(d-b)] / [(c-b)(d-a)].

a) Démontrer que (A, B, C, D) = (C, D, A, B).
b) Démontrer que (A, B, C, D) est un nombre réel si et seulement si les points A, B, C et D sont alignés ou cocycliques.
c)On désigne par A', B', C', D' les images respectives des points A, B, C et D par fm. Montrer que (A, B, C, D) et (A', B', C', D') sont conjugués.
(je pense que pour cette question, il s'agit de montrer que (A,B,C,D)= ( A',B',C',D'))

4. Déduire de la question précédente que, quels que soient les points M et N appartenant à P', les points M,N, M' et N' sont alignés ou cocycliques.

5. On désigne par une droite ou un cercle du plan P et par ₁ son intersection avec P'. Démontrer que l'image de ₁ par f_m est l'intersection d'une droite ou d'un cercle avec P'.

(3) est la figure associée.

Posté par eulerette eulerette

En fait, qu'est ce que "Id" ??

Posté par cailloux cailloux

Bonsoir,

Id est ici l' identité du plan, c' est à dire l' application

Posté par eulerette eulerette

Oui, puis-je avoir une piste, pour commencer ? parce que je suis une peu larguée ><.
merci

Posté par cailloux cailloux

1)



Donc est involutive.

Points invariants:









Si pas de solution.

Si ,

L' ensemble des points invariants est le cercle de centre et de rayon





ou suivant que ou

Donc

Soit

Ou encore: et sont alignés.

De plus





et

Avec alignés et en envisageant les 2 cas et , on a:



C' est un début; je n' ai plus le temps maintenant mais je repasserai plus tard...

Posté par eulerette eulerette

Bonjour =)
Alors j'ai finalement réussi les 1eres parties de la question 1 et là j'essaie de montrer que M.M'= m , j'ai entrevu que vous m'avez déjà donné la réponse, mais je veux voir ce que donne mon raisonnement ( pour l'instant c'est pas trop ça xD mais je cherche =), oui ça bûche fort car je ne suis pas une tronche en maths hein ), donc je n'ai pas regardé tout ce que vous avez écrit. Je vous redonnerez de mes nouvelles =)

Merci beaucoup en tout cas !!

Posté par eulerette eulerette

Bonsoir =) hier j'ai tournée en rond avant de me rendre compte que j'avais écrit |z-i| au lieu de |z'-i|, passons, pour la question 2 :

On a donc que z"= f(z') et que z'=f_m(z). Je vois pas trop comment faire, dois-je calculer z" en fonction de z' ?? Une piste sera la bienvenue merci.

(Je suis plutôt lente, une question par jour xD, mais on n'est pas pressés)

Posté par cailloux cailloux

Re,

2) On a donc

et

d' où



Autrement dit, est l' image de dans l' homothétie de centre et de rapport

_{C' est un bel exercice: je t' engage à le terminer...}

Posté par eulerette eulerette

Bonsoir, alors pour la question 3.a, j'ai développer (A,B,C,D) puis pour (C,D,A,B) j'ai remplacer les lettres dans l'expression de (A,B,C,D) :
(C,D,A,B) = [(a-c)(b-d)] / [(a-d)(b-c)], en développant ça, je retrouve (A,B,C,D). Y a t-il une autre façon de faire ??

Quant à la 3.b peut-on juste se contenter de dire que
Si les points A, B, C et D sont alignés, alors leur argument est égal à 0. Et un nombe est réel que si son argument vaut 0, donc (A,B,C,D) est réel que si les points A, B, C et D sont alignés ??

Pour la 3.c,  ( A',B',C',D')= [(c'-a')(d'-b')] / [(c'-b')(d'-a')]  ensuite
a'= i +[m/(a(conjugué)+i)] de la même façon pour b' c' et d'. je remplace tout dans l'expression et je trouve que (A',B',C',D')= (A,B,C,D)conjugué

Par contre, je bloque à la 4  xD, help help !!

Posté par cailloux cailloux

Re,

Je reprends la question 3):

3)a)

3)b) On suppose les points deux à deux distincts et différents de :

.







alignés ou cocycliques.

3c)







4) On a donc:

car d' après 1)

d' après 3)c)

d' après 3)a)

Donc sont alignés ou cocycliques d' après 3)b)

Posté par cailloux cailloux

5) Soit , la droite privée éventuellement de

Si les points sont alignés les points M' et N' appartiennent à et est sa propre image par

Sinon, les points sont cocycliques.

On se donne donc les 4 points cocycliques

De plus, un point, son image par et sont alignés.

Soit un point de et son image par

Voici la construction de intersection des cercles et autre que

Les angles de même couleur sont égaux modulo

Posté par eulerette eulerette

Oah, superbe la figure , mais est-ce normale que les points M,N, ne soient pas alignés ?

En tout cas, merci beaucoup de m'avoir suivi tout au long de l'exo !!

Posté par cailloux cailloux

Re,



Mais pour quelle raison le seraient-ils ?

S' ils sont alignés, c' est que l' on est dans un cas très particulier où la droite passe par

Auquel cas, est la droite privée de et est sa propre image puisque , et alignés, et .

Posté par eulerette eulerette

... J'ai confondu avec , M, M' qui sont alignés On va faire comme si j'avais rien demandé hein