Fonction logarithme...

Posté par qcha qcha

Bonjour à tous, je suis bloqué a la 1ere question de la partie B :


On considère la fonction f définie sur ]O;+infini[ par f(x)=exp(x)-ln(x)

PARTIE A

Etudier les variations de $(x) = x exp(x) - 1 définie sur R
Déduire qu'il existe un réel unique tel que exp() = 1
Donner un encadrement de d'amplitude 10^-3
Préciser le signe de $(x) selon les valeurs de x

Déterminer les limites de f aux bornes ]0;+infini[
Calculer f' et étudier son signe sur ]0;+infini[ avec les réponses aux questions précédentes
Dresser le tableau de variation de f
Montrer que f admet un minimum m égal a +^-1
Justifier que 2,32 m 2,34

PARTIE B

En utilisant les résultats de la partie A, démontrer que, pour tout entier n > 3, l'équation f(x) = n admet une solution unique dans ]1;+infini[, que l'on notera Xn.

Je ne vois pas du tout comment répondre à cette dernière question, bien que j'ai bien réussi toute la partie A.. Pourriez vous me donner une piste, une aide ? Merci infinment

Posté par qcha qcha

Si j'ai bien compris, on cherche dans l'intervalle ]1;+infini[ la seule valeur de x qui donne par la fonction f(x) un entier supérieur a 3.. Mais je ne vois pas du tout comment faire..

Posté par veleda veleda

bonjour,
f est continue, strictement croissante sur ];+oo[donc sur[1;+oo[
f réalise une bijection de [1,+oo[ sur [f(1);+oo[ d'aprés le tableau de variation
or f(1)=e<3
donc tout élément n de [3,+oo[ est l'image d'un unique réel x [1,+oo[
graphiquement cela veut dire que si tu coupes la courbe représentative de f par la droite d'équation y=n avec n>3 tu trouves un seul point d'intersection d'abscisse >1

Posté par qcha qcha

Je ne comprend plus à partir de "donc tout élément de n..."

Je viens de tracer la courbe sur géogebra. Si on trace la droite y = 4, il y a un point d'intersection avec la courbe de f dans l'intervalle ]1;+infini[, et aussi pour y=5 y=6.....etc

Je n'ai pas compris..

Posté par veleda veleda

la fonction prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f(1) et +oo ce qui veut dire que pour tout n ]f(1);+oo[il existe un x unique]1;+oo[tel que f(x)=n

Posté par qcha qcha

Mais pourquoi n>3 ? Ca marche aussi pour n=3...

Posté par veleda veleda

oui pour n=3 ça marche comme tu dis tu as peut être mal copié le texte

Posté par qcha qcha

non, je confirme que c'est bien n>3... peut etre un erreur du livre, mais le prof nous l'aurais dit quand même.. C'est louche ^^