Theoreme de Wedderburn

Posté par nattyjah nattyjah

bonjour a tous,

je sollicite votre aide car il semble quil y ait un point qui m echappe dans la preuve dont je dispose de ce fameux theoreme : toute algebre a divison de cardinal fini est un corps (si l on prend la convention qu un corps est commutatif par definition bien sur !)
le schema de la preuve est le suivant :
on considere donc notre algebre a divison de cardinal fini A et on montre dans un premier temps que le corps fini a p éléments Fp (pour un certain nombre premier p), en agissant a gauche sur A, donne a A une structure d espace vectoriel sur Fp (cela se montre assez rapidement en considerant le morphisme qui est a l origine de la definition de la caracteristique d un anneau)
ensuite, on introduit le centralisateur Ca d un element a de A (definition analogue au centralisateur d un element g d un groupe G) ainsi que le centre Z de A (analogue egalement a la notion de centre pour un groupe) et on voit que A peut etre vu comme espace vectoriel a gauche sur l algbre Ca et sur le corps Z.
apres avoir etendu la notion de degré d une extension de corps a une algebre a division et en appliquant le theoreme de multiplicativité des degrés aux trois ensembles A, Ca et Z, on obtient quelques informations de cardinalité, puis on utilise la formule des classes (pour le groupe associé a la deuxieme loi de l algebre a divison A) pour avoir une jolie équation sur laquelle on va travailler pour finir la preuve !
on suppose alors que le degré n de l extension [A:Z] est strictement superieure a 1 (cad que A est un espace vectoriel sur Z de dimension strictement superieure a 1) et, en utilsant des resultats sur les polynomes cyclotomiques ainsi qu un tout petit peu de geometrie dans le plan complexe, on aboutit a une absurdité.
donc n=1 et donc Z=A ! ie, A est commutative.
eh bien en fait, c est le premier point qui me pose probleme (le fait que A "est" un espace vectoriel sur Fp) car je ne vois pas ou ce resultat a été utilisé dans la suite de la preuve. car meme quand on montre que A peut etre vu comme un espace vectoriel sur Ca ou sur Z, j ai pas l impression qu on ait utilisé que A pouvait etre vu comme espace vectoriel sur Fp... donc si vous avez une idee sur ce point, une remarque, un commentaire sur tout ca, ca serait avec plaisir !
désolé de pas avoir détaillé d avantage l aspect mathematique mais je n ai pas encore appris a me servir de latex. bientot !

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Pas évident de répondre comme ça! Alors je vois deux endroits ou le fait que c'est un -espace vectoriel a pu jouer. D'abord les formules de multiplication des degrés, n'utilises-tu nulle part la dimension sur ? Ensuite, si je me rappelle bien, quand on utilise les polynômes cyclotomiques on ne regarde pas de temps en temps ce qui se passe modulo p? (je crois me rappeller qu'il y a un argument de multiplicité de racines pour en caractéristique p...)

Si ça ne répond pas à la question, je peux essayer de revoir en détail la démonstration, mais ça fait un bail que je ne l'ai pas rencontrée!

Posté par nattyjah nattyjah

bonjour,

merci beaucoup Camélia.
dans la preuve que j ai, Fp n est pas du tout utilisé dans les formules de multiplication des degrés, ou bien alors ca m echappe !
pour ce qui est de la partie qui considere les polynomes cyclotomiques, j avoue que je ne l ai pas regardé. les resultats dont on se sert dans la preuve de wedderburn sont démontrés dans une autre partie du livre, c est pourquoi, je pense que c est totalement independant du reste des arguments de la preuve (d autant plus que la "partie" sur Fp est le tout debut de la preuve et la partie sur les polynomes cyclotomiques c est plutot la fin). mais bon, ce n est qu une supposition ! c est une tres bonne idee d y avoir pensé en tout cas, je vais jeter un oeil sur ces polynomes !
merci encore, c est tres gentil de vous pencher sur ce probleme.

Posté par Camélia Camélia

Si tu ne trouves pas, reviens! Aujourd'hui Dimanche je préfère aider les bébés en perdition avec des asymptotes et autres joyeusetés...

Posté par nattyjah nattyjah

lol, vive les asymptotes et vive vous !

je vais regarder tout ca aujourdhui, et meme si je "trouve", je reviendrai ! (pour indiquer ce que j ai trouvé notamment)

Posté par nattyjah nattyjah

re-bonjour,
bon ben j ai pas trouvé !

j ai regardé les resultats relatifs aux polynomes cyclotomiques (des histoires de divisibilité) et la reduction modulo p n est pas utilisee dans ce que j ai lu.
je me suis alors concentré sur tout ce qui concerne les sous algebres Ca et Z, et pas vu de lien avec Fp !
pour demontrer que c est des sous-algebres, ben on vérifie juste que c est des sous algebres ! puis ensuite, pour dire que ce sont des "corps" qui font de A un espace vectoriel sur chacun d eux, ben on a seulement besoin du fait que ce sont des sous-algebre de A il me semble. en tout cas, j ai un theoreme qui dit que si L est une extension de corps de K, alors L est un K-espace vectoriel. bon la ce sont seulement des algebres a divisions a priori (en tout cas pour Ca), mais je crois que ca ne pose pas probleme pour la theorie. en tout cas, le texte souligne que ca pose pas de probleme pour la multiplication des degré des extensions.

Posté par nattyjah nattyjah

voila ou j en suis !

Posté par Camélia Camélia

Bon, je regarderais mes démonstrations de Wedderburn! Après tout, peut-être que ça sert pas!

Posté par Camélia Camélia

En effet, ça ne sert pas! La démonstration dont je dispose, (toujours équation des classes et polynômes cyclotomiques) est dans le Cours d'Algèbre de Perrin et n'en fait pas mention. De plus, on fait remarquer que même la formule de multiplicité des degrés est inutile. Comme on est dans des groupes finis (les groupes multiplicatifs des corps) le théorème de Lagrange permet de s'en tirer.

Donc, définitivement, on n'a pas besoin de dire que ce sont des F_p espaces vectoriels... bien que ce soit vrai!

Posté par nattyjah nattyjah

merci beaucoup d avoir regardé !
ca m ote une épine du pied ! je tenais a comprendre "entierement" ce resultat !

Posté par Camélia Camélia

Avec plaisir! Ca m'a rajeunie...