sous ev

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

Bonjour

J'aurai besoin de votre aide pour quelques questions d'un exercice sur les espaces vectoriels
Voici l'énoncé :
Soit E un Rev et f un endomorphisme de E vérifiant la relation f²+f-6id=0
On note g=f-2id et h=f+3id

1) Montrer que ImgKerh et ImhKerg
2) Montrer que E=Img+Imh
3) Montrer que Img=Kerh et Imh=Kerg

Merci d'avance !

TOm

Posté par jft91 jft91

Bonsoir,
Calcule goh et hog.Que constates-tu?

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

Merci pour la réponse !

Voici mes calculs :
g(u)=f(u)-2u
g(h(u))=f(h(u))-2h(u)

h(u)=f(u)+3u
h(g(u))=f(g(u))+3g(u)

Mais je ne consate rien et je ne vois pas comment aboutir à la réponse posée

Posté par jft91 jft91

Si tu développes tu dois trouver : f²+f-6Id donc hog=goh = 0.Ensuite pour xE : h[g(x)] = 0 mais g(x)Im(g) et puisque son image par h est 0 c'est donc un élément de ker(h).On a montré (en posant y = g(x)) : yIm(g) yker(h).D'où l'inclusion : Im(g) ker(h).A cause de la symétrie des rôles joués par g et h on a sans calculs l'autre inclusion.
Essaie de continuer..

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

Merci !

POur la question suivante, j'ai pensé prendre u dans E et montré qu'il peut s'écrire comme somme de vecteur de Img et Imh. J'ai donc voulu,pour cela,établir un raisonnement d'analyse synthèse. Ainsi j'ai supposé la décomposition vraie :

u=v'+w' avec v' dans Img et w' dans Imh
D'où l'existence de v et w dans g et h respectivement tels que
u=f(v)+f(w)

En fait se sont seulement des idées, je ne sais pas si elles aboutiront, et si elles sont justes je ne vois pas comment terminer !

Posté par jft91 jft91

une confusion sans doute:v et w sont dans E car g et h sont des endomorphismes, pas des ensembles!En outre tu dois écrire :
u = g(v) + h(w)

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

oui oui ! tout à fait, j'ai mal recopié mon brouillon dsl
Mais, est ce que mon point de départ va aboutir, et comment ?

Posté par jft91 jft91

Oui, c'est la bonne piste mais il faut un petit calcul ! Ce que j'ai fait : h(u) = h²(w) = (f²+6f+9e)(w) donc : f(u) +3u = f²(w)+6f(w)+9w (j'ai posé Id = e) = (f²(w)+f(w)-6w)+ (5f(w)+15w) = 5 (f(w)+3w) =5.h(w).D'où nécessairement
h(w) = (1/5).(f(u)+3u).Je te laisse trouver g(v) et faire la synthèse ...
Une question : l'espace est-il de dimension finie ?

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

Merci !

Pour la synthèse je vérifie bien que u = h(w)+g(v)
il faut ensuite que je montre que h(w) et g(v) sont ds Imh et Img, c'est à dire qu'il existe w' et v' ds e tel que h(w')=h(w) et g(v')=g(v) mais je ne vois pas comment faire

Posté par jft91 jft91

Tu vérifies que la somme vaut bien u puis  (1/5)(f(u)+3u) = (1/5)h(u) = h(1/5.u) par déf de h donc dans Im(h) ; idem pour g(v). Tu peux ensuite montrer que la somme est directe : si u Im(g)Im(h) alors u = 0

Posté par jft91 jft91

Pour montrer que Im(g) et Im(h) sont en somme directe montrer d'abord que Ker(g) et Ker(h) le sont puis utilise les inclusions de 1)
Pour la 3ème question :  E = Im(g)Im(h) Ker(g)Ker(h) donc cette dernière somme directe est égale à E et l'inclusion est une égalité...

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

ok !

Je n'ai pas besoin de montrer qu'elle est directe
Sinon, l'énoncé n'indique pas que l'espace est de dimension fini

La derniere question demande de montrer que Img=Kerh er Imh=Kerg
Faut il que je montre que E=kerh+kerg ?

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

Dsl j'avais pas encore lu le message précédent

Posté par tomkaulitz tomkaulitz

J'ai montré que E=Kerg+Kerh en somme directe
Si je montre que E=Img+Imh en somme direct

On obtient donc que Kerg+Kerh=Img+IMh en somme direct, est ce que je peut directement conclure que kerg=imh ?

Posté par jft91 jft91

Oui, grâce à ce résultat que tu peux démontrer :
Si AB = A'B' avec AA' et BB' alors A = A' et B = B'