nombre pairs et impairs

Posté par sophie-ld sophie-ld

Nous allons supposer que racine carré de 2 peut s'écrire comme une franction. On note alors p le numérateur et q le dénominateur de cette fraction. On suppose que la fraction p sur q est irréductible.

1- Prouver que p et q ne peuvent être tous les deux pairs.
2- Supposons que p est pair et donc que q est impair.

a) Prouver que q² est alors pair.
b) En déduire que p est impair.

3- Supposons que p soit impair.
a) Montrer que p² est pair.
b) En déduire que p n'est pas impair.

Posté par cornelia93 cornelia93

1. si p et q sont tous les deux pairs, alors on peut simplifier la fraction p/q par deux, or elle est irréductible, donc p et q ne sont pas tous les deux pairs

Posté par sophie-ld sophie-ld

Comment ça par deux ?? tu saurais pas m'aider pour les autres questions aussi??

Merci beaucoup!!

Posté par cornelia93 cornelia93

si p et q sont pairs alors, p peut s'écrire sous la forme p=2n et q sous la forme q=2k,
donc p/q= (2n)/(2k), cette fraction est simplifiable par 2

Posté par cornelia93 cornelia93

2a)
si p est pair alors il peut s'écrir p=2n, donc 2 = (2n)/q, et 2= (2n²)/q², donc 4n²/q²=2 et 4n=2q², => 2n=q², donc q² est pair

Posté par cornelia93 cornelia93

petite rectification c'est (2n)²/q² au lieu de (2n²)/q²

Posté par cornelia93 cornelia93

si  q² est pair alors q aussi est pair, or p et q ne peuvent être tous les deux pairs, donc p est impair

Posté par cornelia93 cornelia93

3a)
(p/q)²=p²/q²=2, donc p²=2q² donc p² est pair, p aussi est pair (il n'est donc pas impair)

Posté par sophie-ld sophie-ld

Bonjour,

Euh ... j'ai  pas compris pourquoi q = 2k ??

et pourquoi t'enlève la racine carré de 2 ( 2a ) ??

Merci beaucoup pour m'avoir aider !!

Posté par cornelia93 cornelia93

Pour la question 1, on suppose que p et q sont tous les deux pairs, tu as sûrement appris en cours qu'un nombre pair est en fait un nombre qui est divisible par deux, donc si q est pair, il existe un entier k tel que q=2k, et de même pour p=2n, si p est pair.

En ce qui concerne la question 2a)
On a :
p/q = 2
(2n)/q= 2
(2n)²/q² = (2)²
4n²/q² = 2