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Un petit défi : Suite 
Posté le 14-03-10 à 05:40
Posté par 
olive_68 olive_68
Bonjour
Je me suis fais les dents là dessus une bonne partie de la nuit, quelqu'un veut essayer ?
Merci de blanker vos réponses
olive_68 olive_68Bonjour
Je me suis fais les dents là dessus une bonne partie de la nuit, quelqu'un veut essayer ?
Citation :
Soit
un nombre réel 
.
Soit_{n\ge 1})
la suite numérique réelle définie par,
^{n+a})
Vérifier que la suite est décroissante si et seulement si 
Soit
Soit
Vérifier que la suite
Merci de blanker vos réponses 
re : Un petit défi : Suite Posté le 14-03-10 à 11:10
Posté le 14-03-10 à 11:10Posté par jandri jandri 
Bonjour olive et infophile,
C'est la méthode proposée par infophile qui est la bonne
Cliquez pour afficher
On peut montrer plus précisément que la suite (xn) est:
décroissante si a
1/2
croissante si a
a0 
0,40942 (y compris a < 0).
Si a est compris entre a0 et 1/2 la suite n'est pas monotone (elle est d'abord décroissante puis croissante).
jandri jandri Bonjour olive et infophile,
C'est la méthode proposée par infophile qui est la bonne
Cliquez pour afficherOn peut montrer plus précisément que la suite (xn) est:
décroissante si a
1/2croissante si a
a0 0,40942 (y compris a < 0).Si a est compris entre a0 et 1/2 la suite n'est pas monotone (elle est d'abord décroissante puis croissante).
re : Un petit défi : Suite Posté le 14-03-10 à 14:57
Posté le 14-03-10 à 14:57Posté par olive_68 olive_68
Salut vous deux
J'avais posté ce défi dans l'espoir qu'il ait une résolution sympa, (d'ailleurs j'ai passé une bonne partie de la nuit à essayer d'en trouvé une) mais manifestement, vous ne voyez rien qui pourrait éviter ces études de fonctions..
J'ai procédé de la même manière, j'ai pris le
et j'ai fais une étude de fonction.
On arrive à=(n+a)\ell n\(1-\fr{1}{(n+1)^2}\)+\ell n\(1+\fr{1}{1+n}\)\le -\fr{n+a}{(n+1)^2}+\ell n\(1+\fr{1}{n+1}\))
, j'ai étudié cette fonction qui me semblait un peut plus simple mais rien de génial ^^
Un peu déçu de l'exercice quand même, c'est un exercice classé plus dur que les autres dans les exos que notre prof nous à donné, j'ai du mal à croire que la seule résolution soit une étude de fonction ^^
Merci de vous être penchez sur cette exercice
olive_68 olive_68Salut vous deux
J'avais posté ce défi dans l'espoir qu'il ait une résolution sympa, (d'ailleurs j'ai passé une bonne partie de la nuit à essayer d'en trouvé une) mais manifestement, vous ne voyez rien qui pourrait éviter ces études de fonctions..
J'ai procédé de la même manière, j'ai pris le
On arrive à
Un peu déçu de l'exercice quand même, c'est un exercice classé plus dur que les autres dans les exos que notre prof nous à donné, j'ai du mal à croire que la seule résolution soit une étude de fonction ^^
Merci de vous être penchez sur cette exercice
re : Un petit défi : Suite Posté le 14-03-10 à 16:56
Posté le 14-03-10 à 16:56Posté par jandri jandri
Il est plus simple d'étudier la fonction f(x)=(x+a)ln(1+1/x).
f'x)=ln(1+1/x)-(x+a)/x/(x+1)
f''(x)=( (2a-1)x +a )/(x²(x+1)²)
Si a 1/2 f' est croissante de limite 0 en +
donc f est décroissante et (xn) aussi.
Si a 0 f' est décroissante de limite 0 en + donc f est croissante et (xn) aussi.
Pour a entre 0 et 1/2:
f' est croissante puis décroissante; elle est négative au voisinage de 0 et de limite 0 en +.
f est donc croissante puis décroissante.
La comparaison de x1 et x2 montre que la suite (xn) est croissante si a a0 solution de l'équation x1=x2.
jandri jandri Il est plus simple d'étudier la fonction f(x)=(x+a)ln(1+1/x).
f'x)=ln(1+1/x)-(x+a)/x/(x+1)
f''(x)=( (2a-1)x +a )/(x²(x+1)²)
Si a
1/2 f' est croissante de limite 0 en + donc f est décroissante et (xn) aussi.Si a
0 f' est décroissante de limite 0 en + donc f est croissante et (xn) aussi.Pour a entre 0 et 1/2:
f' est croissante puis décroissante; elle est négative au voisinage de 0 et de limite 0 en +
.f est donc croissante puis décroissante.
La comparaison de x1 et x2 montre que la suite (xn) est croissante si a
a0 solution de l'équation x1=x2.re : Un petit défi : Suite Posté le 17-03-10 à 18:53
Posté le 17-03-10 à 18:53Posté par olive_68 olive_68
Bonjour
Merci jandri, je sais pas pourquoi j'ai écris ça, cette majoration ne permettait pas de conclure pour a=1/2 je crois en plus, au final j'avais bien fait ce que tu as écris plus haut
La correction a été faite se matin, et la même méthode à été utilisé, donc pas de belle astuce en fin de compte.
Merci beaucoup d'y avoir jeté un coup d'oeil
olive_68 olive_68Bonjour
Merci jandri, je sais pas pourquoi j'ai écris ça, cette majoration ne permettait pas de conclure pour a=1/2 je crois en plus, au final j'avais bien fait ce que tu as écris plus haut
La correction a été faite se matin, et la même méthode à été utilisé, donc pas de belle astuce en fin de compte.
Merci beaucoup d'y avoir jeté un coup d'oeil
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