DM suites

Posté par Falbala Falbala

Bonjour tous les matheux !

J'ai un DM de maths sur les suites  rendre pour demain et il y a une question à laquelle j'ai du mal à répondre, c'est celle ci :

Sujet : Soit la suite v définie par v₀=0 et pour tout n de v_n+1=(5v_n+4)/(v_n+2)

Démontrer que pour tout n 0v_n4


Les questions précédentes m'ont apporté les réponses suivantes :

v est stationnaire lorsque v₀=-1 ou v₀=4

v₁=2
v₂=7/2

Merci d'avance pour votre aide, Falbala.

Posté par Marcel Marcel

Bonjour,

v₀ = 0

v_n+1 = (5v_n+4)/(v_n+2)
= (5v_n+10-6)/(v_n+2)
= (5(v_n+2)-6)/(v_n+2)
= 5-[6/(v_n+2)] pour tout n N

Montrons par récurrence que 0 v_n 4 pour tout n N :

Vrai au rang 0 car 0 v₀ = 0 4

Si Vrai au rang n
Alors 0 v_n 4
Alors 2 v_n+2 6
Alors 1/6 1/[v_n+2] 1/2
Alors 1 6/[v_n+2] 3
Alors -3 -6/[v_n+2] -1
Alors 2 5-6/[v_n+2] 4
Alors 2 v_n+1 4
Alors 0 v_n+1 4
Alors Vrai au rang n+1

On a donc bien montré que 0 v_n 4 pour tout n N