développement en série entière

Posté par loic-7 loic-7

Bonjour je viens de commencer le chapitre sur les séries entières. Je m'exerce sur des exercices mais je bloque.


1- Développer en série entière 1/(t³-3t+2)

Je voulais le décomposer en élement simple en trouvant 1 comme racine évidente mais je bloque.

2- Développer en série entière arctan (1+t)

On connais les développements usuels de arctan t
On dérive donc cette expression?

Merci de votre aide

Posté par geo3 geo3

Bonjour
1/(t³-3t+2) =
        5          4           3          2              
135·t      57·t       23·t      9·t        3·t       1
-------- + ------- + ------- + ------ + ----- + ---
   64          32        16         8          4        2
*
arctan (1+t) =
      5       3       2            
    t        t       t      t      
- ---- + ---- - ---- + --- + ---
   40     12      4      2     4
A+

Posté par loic-7 loic-7

Merci serait-il possible d'avoir des explications?

Posté par loic-7 loic-7

je pensais faire comme ceci

(t³-3t+2)=(t-1)²(t+2)

1/(t³-3t+2)= A/(t-1)² + B/(t-1) + C/(t+2)

Après calcul on trouve : A=1/3 ; B=-1/9 ; C=1/9

1/(t³-3t+2)= 1/3(t-1)² - 1/9(t-1) + 1/9(t+2)

-Alors ici je demande le Dev. de 1/3(t-1)² :

1/3*(1/(t-1)*1/(t-1))= 1/3* (₀^inf t^n) (₀^inf t^n)

-1/9* 1/(t-1) = -1/9* ((₀^inf t^n)

1/9*1/(t+2)=1/9*1/(2(t/2+1)) = 1/18 * (₀^inf(-1)^n (t/2)^n)

Je ne vois pas comment tous recomposer

Posté par geo3 geo3

RE
tu appliques la formule  de Taylor ( MacLaurin) en cherchant les dérivées successives calculées en 0
f(0) = 1/2
ainsi {1/(t³-3t+2)}' = 3(t+1)/{1-t)(t²+t-2)²) en 0 = 3/4
{1/(t³-3t+2)}'' = 6(2t²+4t+3)/{(t+2)³(t-1)^4} en 0 = 18/8 = 9/4
{1/(t³-3t+2)}''' en 0 = 6.23/16
...
d'où mon résultat
A+