Le repérage carthésien dans l'espace.

Posté par Guess38 Guess38

Bonjour !

Il y a un petit exercice qui me pose problème sur le repérage dans l'espace...

Voici l'énoncé :

Dans un repère de l'espace, on donne les points A(2;-1;4), B(3;2;-5), C(-11;-40;121) -
Ces points sont-ils alignés ?

Alors, voici ce que j'ai fais :

A et B sont deux points de coordonnées (x_A, y_A, z_A) et (x_B, y_B, z_B)
Le vecteur AB a pour composantes (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B- z_A)
AB(1;3;-9)  (3-2;2+1;-5-4)

On raisonne de façon analogue avec BC :
BC(-14;-42;126) (-11-3;-40-2;121+5)

Je remarque que les coordonnées sont proportionnelles.
(Coefficient de proportionnalité : -14)

Dois-je exploiter cela ?
Je ne vois pas comment le faire & comment m'y prendre d'une autre façon si ce n'est pas ça qu'il fallait faire...

Ensuite, j'en ai un second dans le même genre.

On donne cette fois-ci les points A(2;1;3), B(-1;2;5), C(-2;-3;1) et D(-5;-2;3)
Démontrer que ces points sont les sommets d'un parallélogramme.

Je pense qu'il faut faire de même avec les vecteurs opposés d'un parallélogramme, c'est à dire :
AB et DC ainsi que AD et BC.

Est-ce juste ?

Enfin, même si je pense qu'il faut calculer les coordonnés de ces 4 composantes, je ne vois pas en quoi ça résoudrait le problème...

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par pgeod pgeod


AB(1;3;-9)
BC(-14;-42;126)
Je remarque que les coordonnées sont proportionnelles.
(Coefficient de proportionnalité : -14)

donc BC = -14 AB
donc BC et AB sont colinéaires
donc les points A, B et C sont alignés.

...

Posté par Guess38 Guess38

D'accord merci beaucoup !

En fait à chaque fois qu'on trouve un coefficient de proportionnalité (par rapport à des vecteurs) il faut en déduire que les vecteurs sont colinéaires c'est ça ? Et dans ce cas là, soit les points sont alignés soit les droites sont parallèles, c'est bien ça ?

Et pour le second, je procède de la même manière ? Je cherche un coefficient de colinéarité dans le but de montrer que les vecteurs sont parallèles deux à deux, non ?

Posté par pgeod pgeod


En fait à chaque fois qu'on trouve un coefficient de proportionnalité (par rapport à des vecteurs) il faut en déduire que les vecteurs sont colinéaires c'est ça ?

c'est ça.

Et dans ce cas là, soit les points sont alignés soit les droites sont parallèles, c'est bien ça ?

c'est ça.

pour le second :

ABCD est un parallélogramme ssi AB = DC (égalité entre vecteurs)
par contre, ici on ne sait pas s'il s'agit de ABCD ou de ACBD ou de ..
donc il faudra étudier toutes les possibilités.

...

Posté par Guess38 Guess38

D'accord merci beaucoup !

Est-ce qu'on peut utiliser les milieux pour aller plus vite dans le dernier ?
Au lieu de voir toutes les possibilités ...  (?)

Posté par pgeod pgeod


si.
mais cela revient au même.
plusieurs possibilités pour les milieux.

...

Posté par Guess38 Guess38

D'accord d'accord !

J'ai essayé une possibilité mais elle ne marche pas.
Je ne comprend pas pourquoi ...

Si j'ai bien compris, en raisonnant par rapport aux 2 milieux, le milieu de AC aurait pour coordonnées :
x_I = xA + xC/2 ; yI = yA + yB/2 ; zI = zA + zB/2

Je raisonne de façon analogue pour BD & je devrais en déduire que les coordonnées sont les mêmes...
Or, quand je calcule les coordonnées des deux points, je trouve :

Pour I, milieu de AC : (0;-1;2)
[ (2-2/2) ; (1-3/2) ; (3+1/2) ]
Tandis que pour K, milieu de BD : (-3;0;4)[/b]
[ (-1-5/2) ; (2-2/2) ; (5+3/2) ]

(...)

Posté par pgeod pgeod


donc ABCD n'est pas un parallélogramme.

essaye maintenant milieu de [AD] et de [BC]

...

Posté par Guess38 Guess38

Oh, merciii beaucoup !

C'était effectivement [AD] et [BC] qu'il fallait prendre !
Les coordonnées sont les mêmes.

Ah c'est super ! Merciii encore.