démonstration par réccurence

Posté par Yuko-san Yuko-san

Bonjour tout le monde,
voici mon exercice :

on considère une fonction g(x) definie sur ]0;+[ telle que :
g(x) = (4x-lnx)/5

1) étudier son sens de variation sur ]0;+[.
2) En déduire que pour tout réel x de [1/2;1], g(x) appartient à cet intervalle.
3) Démontrer qu'un nombre réel x appartenant à ]0;+[ est solution de l'équation (E) : lnx = -x si, et seulement si, g(x) = x.
4) On considère la suite (Un) définie par U0 = 1/2
et Un+1 = g(Un) pour tout entier naturel n.
   a) en utilisant le sens de variation de la fonction g démontrer par réccurence que pour tout entier naturel n, 1/2UnUn+11.

C'est sur cette dernière question que je suis bloquée. J'ai réussit la première étape qui consiste à démontrer pour n=0 mais après je ne vois vraiment pas du tout comment faire. Pouvez vous m'aider ?

Posté par boss857 boss857

Il faut que tu utilise la fonction
sa fait

1/2<Un<Un+1<1
g(1/2)<g(Un)<g(un+1)<g(1) car g est croissante
tu calcule

c'est comme sa que je ferai

Posté par Yuko-san Yuko-san

Oui mais ca ne nous fait pas utiliser ce qu'on a supposé auparavant " on suppose qu'il existe un entier K tel que 1/2 UnUn+11 " pour ensuite en déduire 1/2Un+1Un+21...

Posté par Yuko-san Yuko-san

Quelqu'un peut m'aider ??