Application du produit scalaire

Posté par the_debby the_debby

Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à finir car je suis bloquée, pourriez vous m'aider ? Merci d'avance.

Exercice:

On donne les points A(-3;0), B(3;-1) et C(1;5).

1. Déterminer les équations des hauteurs du triangle ABC et en déduire les coordonnées de son orthocentre H

(AI) est la hauteur issue de A dans le triange ABC
Soit I(x;y)
(AI) (BC)   vectAI.vectBC=0
vectAI(x+3;y) et vectBC(-2;6)

-2(x+3)+6y=0
-2x-6+6y=0
-x+3y+3=0

(BJ) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC
Soit J(x';y')
(BJ) (AC)    vectBJ.vectAC=0
vectBJ(x'-3;y'+1)  et  vect AC(4;5)

4(x'-3)+5(y'+1)=0
4x'-12+5y'+5=0
4x'+5y'-7=0

(CK) est la hauteur issue de C dans le triangle ABC
Soit K(x";y")
(CK) (AB)    vectCK.vectAB=0
vectCK(x"-1;y"-5) et  vectAB(6;-1)

6(x"-1)-1(y"-5)=0
6x"-6-y"+5=0
6x"-y"-1=0

Trouver H

{ -x+3y-3=0
{ 6x-y-1=0

{ -x+3y-3=0
{ y=6x+1

{ -x+3(6x+1)=0
{ y=6x+1

{ x=0
{ y=60+1

{ x=0
{ y=1

Donc H(0;1)

2. Déterminer les équations des médiatrices des côtés du triangle ABC et en déduire les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle

Et là je ne vois pas comment faire.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Debby,

1) Attention à la faute de frappe que tu as faite dans l'équation soulignée de la première hauteur. Pour la détermination de H, il ne s'agit plus d'une faute de frappe : le système d'où tu pars est correct, mais tu butes immédiatement sur une faute de signe.
NB : un dessin pas trop mal fait du triangle ABC t'aurait tout de suite mis la puce à l'oreille.

2) Ce n'est pas plus difficile pour les médiatrices que pour les hauteurs : il s'agit dans les deux cas de perpendiculaires à chaque côté mais les médiatrices passent par le milieu du côté en question au lieu de passer par le sommet opposé.

Posté par the_debby the_debby

Oh effectivement ce n'est pas y=6x+1 mais y=6x-1

Donc je refais le calcul:
{ -x+3y-3=0
{ 6x-y-1=0

{ -x+3y-3=0
{ y=6x-1

{ -x+3(6x-1)-3=0
{ y=6x-1

{ 17x=9
{ y=6x-1

{ x=9/17
{ y=69/17-1

{ x=9/17
{ y=54/17

Donc H(9/17;54/17)

Ensuite, pour les hauteurs, j'ai fait ces calculs:

(MM') est la médiatrice de [BC]
(MM')(BC)    vectMM'.vectBC=0
M'((3+1)/2;(5-1)/2) soit M'(2;2)
Soit M(x;y)
vectMM'(2-x;2-y) et vectBC(-2;6)

-2(2-x)+6(2-y)=0
-4+2x+12-6y=0
x-3y+4=0

(NN') est la médiatrice de [AB]
(NN')(AC)    vectNN'.vectAB=0
N'((-3+3)/2;-1/2) soit N'(0;-1/2)
Soit N(x';y')
vectNN'(-x';-1/2-y')  et  vectAB(6;-1)

-6x'-1(-1/2-y')=0
-6x'+1/2+y'=0
-6x'+y'+1/2=0

(PP') est la médiatrice de [AC]
(PP')(AC)    vectPP'.vectAC=0
P'((-3+1)/2;5/2) soit P'(-1;5/2)
Soit P(x";y")
vectPP'(-1-x";5/2-y")  et  vectAC(4;5)

4(-1-x")+5(5/2-y")=0
-4-4x"+25/2-5y"=0
-4x"-5y"+17/2=0

Pour trouver

{ x-3y+4=0
{ -6x+y+1/2=0

{ x=3y-4
{ -6(3y-4)+y+1/2=0

{ x=3y-4
{ -18y+24+y+1/2=0

{ x=3y-4
{ 17y=49/2

{ x=3(49/34)-4
{ y=49/34

{ x=11/34
{ x=49/34

Donc (11/34;49/34)

Est ce correcte ? Merci encore.

Posté par Pierre_D Pierre_D

D'accord pour les médiatrices et , pas pour H

Posté par the_debby the_debby

J'ai fait une erreur de calcul ? Parce que je ne vois pas où est la faute.

Posté par the_debby the_debby

Ah si je vois. y=37/17 et non pas 54/17. J'ai du oublié le -1
Est ce juste ? Merci.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Non

Posté par the_debby the_debby

Alors je ne vois pas. Pourriez vous me donner un indice svp ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Mais il n'y a besoin d'aucun indice, Debby, il suffit de résoudre proprement le système simple que tu donnes toi-même pour déterminer H, et qui est correct.

Posté par the_debby the_debby

J'ai refait le calcul, mais d'une façon un peu différente, j'obtiens alors ce résultat:

{ -x+3y-3=0
{ 6x-y-1=0

{ x=3y-3
{ 6(3y-3)-y-1=0

{ x=3y-3
{ 18y-18-y-1=0

{ x=3y-3
{ 17y=19

{ x=3(19/17)-3
{ y=19/17

{ x=7/17
{ y=19/17

Donc H(7/17;19/17)

Est ce juste ? Merci.

Posté par Pierre_D Pierre_D

M'enfin Debby,

Posté par the_debby the_debby

Ca fait 6/17. Effectivement, j'ai du mal calculer. Merci
Donc H(6/17;19/17)

Posté par Pierre_D Pierre_D

Oui, ça y est.

Posté par the_debby the_debby

Merci beaucoup.