DM , produit scalaire , droite d'euler.

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DM , produit scalaire , droite d'euler.

Posté le 14-03-10 à 14:38

Posté par mymy37

j'ai un dm pour demain je suis bloqué depuis ce matin , je n'ai pas avancé .

ABC est un triangle non équilateral, H est son orthocentre , G son centre de gravité et O le centre de son cercle circonscrit.
On pose u(vecteur) = OA+OB+OC-OH  (en vecteurs)

1]a) justifier les egalitées suivantes
(vecteurs) u.AB=(OA+OB+HC).AB
               =2OI.AB ou I est le milieu de AB

b) en déduire que u.AB=O ?   ( en vecteurs )

2) démontrer de la même manière que u.BC=0

3) en déduire que u = vecteur nul ?

4) que peut on conclure pour les points O, H et G?

re : DM , produit scalaire , droite d'euler.

Posté le 14-03-10 à 15:23

Posté par pppa

Bonjour

je peux déjà essayer de t'aider pr la Q1 ; ça suppose que tu conniasses bien les propriétés des triangles (trg) et du produit scalaire (ps).

On y va ?

re : DM , produit scalaire , droite d'euler.

Posté le 14-03-10 à 15:46

Posté par pppa

Q1a
$2$ \vec{u}.\vec{AB}=[\vec{OA}+\vec{OB}+(\vec{OC}-\vec{OH})].\vec{AB} \\ =[\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{HC}].\vec{AB} \\ =[\vec{OI}+\vec{IA}+\vec{OI}+\vec{IB}+\vec{HC}].\vec{AB} \\ =[2\vec{OI}+(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{HC}].\vec{AB} \\ =[2\vec{OI}+\vec{0}+\vec{HC}].\vec{AB}, puisque I milieu de [AB] \\$

Dc
$2$ \vec{u}.\vec{AB}=(2\vec{OI}+\vec{HC}).\vec{AB} \\ =2\vec{OI}.\vec{AB}+\vec{HC}.\vec{AB}$

Or, H étant l'orthocentre du trg ABC, (HC) est la hauteur de ce trg issue de C, (HC) est dc

au coôté opposé à C, i.e. la droite (AB), dirigée par $\vec{AB}$ ; et le ps de 2 vecteurs orthogonaux est nul, dc
$2$\vec{HC}.\vec{AB}=0$ et dc $\vec{u}.\vec{AB}=2\vec{OI}.\vec{AB}$

Q1b
On a : $\vec{u}.\vec{AB}=2\vec{OI}.\vec{AB}$

Or O est le centre du cercle circonscrit au trg ABC, et I milieu de [AB], dc (OI) est la médiatrice de [AB], dc (OI)

(AB), dc les vecteurs $\vec{OI}$
et $\vec{AB}$ sont orthogonaux, dc leur ps est nul

Conclusion : $\vec{u}.\vec{AB}=0$
cqfd

d'accord ?

re : DM , produit scalaire , droite d'euler.

Posté le 14-03-10 à 16:39

Posté par pppa

Q2 : si tu as un tant soit peu compris ma réponse pr Q1, tu dois pouvoir la traiter seule (mêmes principes)

Q3 : On a dc établi en Q1 et Q2 que $2$\vec{u}.\vec{AB}=0$ et $2$\vec{u}.\vec{BC}=0$
on a dc :

$2$\vec{u}.\vec{AB}=\vec{u}.\vec{BC}$

$2$\vec{u}.(\vec{AB}-\vec{BC})=\vec{0}$

$2$\vec{u}.(\vec{AB}+\vec{CB})=\vec{0}$
Or ABC n'étant (par hypothèse) pas trg aplati (i.e. les 3 sommets du trg A, B et C ne sont pas alignés), $2$\vec{AB}+\vec{CB}\neq\vec{0}$
p.c. $2$\vec{u}=\vec{0}$

Q4
Puisque $2$\vec{u}.\vec{AB}=0$ Cf Q1,
on a
$2$(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{HC}).\vec{AB}=0$ (premier résultat de Q1)
Or $\vec{AB}\neq\vec{0}$ , dc

$2$(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{HC})=\vec{0}$
ce qu'on peut écrire, en développant selon la relation de Chasles "à l'envers"
$2$(\vec{OG}+\vec{GA}+\vec{OG}+\vec{GB}+\vec{HG}+\vec{GC})=\vec{0}$ (a)
Or ds tt trg ABC dt G est le cdg, on a la relation fondamentale (Cf ton cours)

$3$\blue\fbox{\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}}$
Dc (a) se simplifie en
$2$2\vec{OG}+\vec{HG}=\vec{0}$

$2$-2\vec{GO}-\vec{GH}=\vec{0}$

$2$-2\vec{GO}=\vec{GH}$

$2$\vec{GO}=\frac{1}{2}\vec{GH}$

ce qui signifie que les vecteurs $2$\vec{GO}et\vec{GH}$
sont colinéaires et ont même origine G, dc que les 3 points O (centre du cercle circonscrit au trg ABC), G (cdg du trg ABC) et H (orthocentre du trg ABC) sont alignés, en l'occurrence sur la droite dite droite d'Euler
T'as compris ? A ta disposition si tu as des questions.

produit scalaire

Posté le 14-03-10 à 21:13

Posté par mymy37

oui j'ai tout compris , merci de ton aide

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