DM sur les suites

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DM sur les suites

Posté le 14-03-10 à 14:48

Posté par n0txPerfect

Bonjour, J'ai un DM à rendre sur les suites, Mais je rencontre quelques difficultés. Quelqu'un pourrait-il m'aider ou m'expliquer ? S'il-vous-plait.

Voici l'énoncer :

Dans une agence de voyage; l'étude du mouvement de clientèle montre que, chaque année :
On retrouve le nombre de clients de l'année précédente, augmenté de 50%, Mais on perd un nombre de clients correspondant à 50% des clients d'il y a deux ans.
Au départ de l'étude, il y avait 5000 clients, puis 4000 clients l'année suivante.
Soit Un le nombre de clients l'année n, avec U0 = 5 et U1 = 4 ( en milliers )

1) a. Calculer U2 et U3.
b. Établir la relation de récurrence entre Un+2, Un+1 et Un.
2) a. Soit Sn = 3 + 2 ( 1/2 )ⁿ . Montrer que, pour tout entier n, Sn = Un.
b. Etudier la limite de cette suite.

Pour La question 1) a. J'ai trouver :
U2 = 3,5 et U3 = 3,25

Pour La question 1) b. J'ai trouver :
Un+2 = 1,5 Un+1 - 0,5 Un.

Et pour la question 2) Je n'y arrive pas ..

re : DM sur les suites

Posté le 14-03-10 à 15:29

Posté par Labo

bonjour,
$\rm U_{n+2}=1,5U_{n+1}-0,5U_n \\ U_{n+2}=aq^2 \\ U_{n+1}=aq \\ U_n=a \\ aq^2=0,5a(3q-1) \\ 2q^2-3q+1=0 \\ cette equation admet 2 racines 1 et (1/2) \\ U_n=\alpha(1)^n+\beta(1/2)^n \\ U_0=5=\alpha+\beta \\ U_1=4=\alpha+\fr{1}{2}\beta \\ \alpha=3 et \beta=\fr{1}{2} \\ U_n=3(1^n)+(\fr{1}{2})^n=3+(\fr{1}{2})^n=S_n \\ limite =3$

re : DM sur les suites

Posté le 14-03-10 à 15:36

Posté par n0txPerfect

Merci beaucoup Labo !

Mais je ne comprend pas à partir de là :
Un = a(1)ⁿ +

(1/2)ⁿ
Et tout ce qu'il y a après ça

re : DM sur les suites

Posté le 14-03-10 à 16:05

Posté par Labo

on recherche les suites vérifiant
$\rm U_{n+2}=1,5U_{n+1}-0,5U_n$ toutes les suites de la forme
$\rm \alpha (1)^n+\beta (\fr{1}{2})^2$ vérifient cette égalité
$\rm \alpha et \beta$ sont déterminer à l'aide des valeur de $U_0 et de U_1$
on résout le système
voir cours sur recherche des suites vérifiant une relation $\rm U_{n+2}=aU_{n+1}bU_n$

re : DM sur les suites

Posté le 14-03-10 à 16:19

Posté par n0txPerfect

D'accord, j'ai compris là, Merci beaucoup Labo pour ton aide

re : DM sur les suites

Posté le 14-03-10 à 16:43

Posté par Labo

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