2tudier la fonction ln(kx)/x

Posté par ptitananas ptitananas

Bonjour, J'ai un DM de math a faire pour mardi et je voudrais savoir si :

Etudier la fonction ln(kx)/x  revenait à étudier la fonction  ln(x)/x


Merci beaucoup

Posté par olive_68 olive_68

Salut

ln(kx)=ln(k)+ln(x) donc ça revient à étudier (ln(k)/x)+(ln(x)/x)

Mais bon tant qu'à faire autant garder la première forme

Posté par ptitananas ptitananas

Mais alors pour les limites ca revient au même non ?

Et puis ln(kx)/x  est-ce égale a k*ln(x)/x  comme en physique ?

Posté par olive_68 olive_68

Ca dépend ou tu fais ta limite, en zéro par exemple ce n'est pas équivalent.

Sinon, même en physique c'est faux ce que tu dis, j'ai écris plus haut à quoi c'est égale

Posté par ptitananas ptitananas

En zero ce n'est pas équivalent ?

pfff c'est complexe. J'ai toujours galérer avec les limites...

lim ln(k)/x = - l'infini  ?

Et pareil pour ln(x)/x ?

pour x tend vers 0 ?

Posté par olive_68 olive_68

Ca dépend, k c'est quoi ? un réel, un entier, un réel plus grand que 1, ... N

En quoi en zéro ? si k>1 alors oui sinon, non ^^

la limite de ln(x)/x en zéro n'est pas une forme indéterminée et elle vaut bien -oo en 0

Posté par ptitananas ptitananas

heu... désolée j'aurai du préciser.

k est strictement positif.


et la limite de cette fonction en O est donc bien -OO  c'est donc comme ln(x)/x...

Pour la limite de cette fonction en +OO, c'est 0 je pense. Mais je ne sais pas comment le prouver. C'est dans mon cour mais il est a l'internat -_-'

Posté par olive_68 olive_68

mince j'ai dis une bêtise plus haut, ln(k)/x ne tend pas toujours vers -oo en 0.

Si 0<k<1 alors ça tend bien vers -oo car ln(k)<0.

Si k>1 alors ça tend vers +oo car ln(k)>0 et divisé par quelque chose de très petit ça donne quelque chose de très grand.

Si k=1 alors ça vaut zéro.

En +oo il faut savoir que , ce qui est dans le cours que tu as oublié ^^

Posté par ptitananas ptitananas

Donc la limite de la fonction en O change selon k ou pas ?
Car je trouve que lim de cette fonction en 0 est toujours -OO ...

Posté par olive_68 olive_68

Tu as lu mon poste précédent ?

Ben pourtant non, ln(k) peut être négatif comme positif donc la limite change, en fait, elle est du signe de ln(k)

Posté par ptitananas ptitananas

Ouais...
Je suis bornée, je comprend vraiment rien ...
C'est pas grave je passe a la suite ^^

Donc tableau de variation c'est fait.

pareil pour la suite, je ne comprend pas ce qu'est la position relative  des courbe Ck et Cl

Avec Ck le courbe representative de Fk et l>0

Posté par olive_68 olive_68

Ben pour simplfier les choses, imagine que si 0<k<1 alors ln(k)=-1, si k>1 alors ln(k)=1

Quelle est la limite en 0 (avec x positif) de -1/x et de 1/x ?

Posté par ptitananas ptitananas

pour - 1/x  c'est -OO  
et pour 1/x  c'est +OO

non... ?

Posté par olive_68 olive_68

Exacte, et ben c'est exactement le même principe avec ln(k), c'est un constante mais suivant les valeurs de k elle a des signes différents, tu comprends ?

Aufait tu ne m'as pas dit, k est un entier, un réel ?

Posté par ptitananas ptitananas

C'est pas préciser donc ca doit être un réel bien que ca serait plus simple si c'était un entier ...

Cependant pour la limite en 0.
J'ai fait plusieurs courbes certaine avec k entre 0 et 1 et d'autre >1 et je trouve quand même que La limite est - OO

Posté par olive_68 olive_68

Oui mais on parle de ln(k)/x là, pas de ln(kx)/x , le fait que x tendent vers zéro entraine que kx tende vers zéro donc que ln(kx) tendent vers -oo

1/x tend vers +oo donc par produit des limites ln(kx)/x tend vers -oo.

Posté par ptitananas ptitananas

Haaaa okey.

C'est pour ca que je ne comprenait pas.
J'étais partie sur ma fonction ln(kx)/x

C'est tout de suite plus compréhensible ^^

Posté par olive_68 olive_68

Ah on s'était donc mal compris ^^

Oui donc pour rectifier, ln(kx)/x tend bien tout le temps vers -oo en zéro, ce qui n'est pas le cas de ln(k)/x

Posté par ptitananas ptitananas

Exactement ^^

Excuse moins de te déranger encore mais :

La position relative de deux courbe c'est savoir si l'une est en dessous ou au dessus de l'autre ?

Dans mon cas ou me demande cette position en les courbes Ck et Cl
Ck était la courbe représentative de Fk
Et on me dit que l>0

ce que je ne comprend pas c'est que k et l sont indissociable alors non ?

Posté par olive_68 olive_68

Oui mais il faudra à nouveau faire la disctinction en fonction que k<l ou inversement.

Commence par montrer que

Puis déduis-en le signe de la dérivée suivant que l>k ou inversement

Posté par ptitananas ptitananas

oula et tu es arrivé a ce résultat comment.
Avec une intégration ?

Et  fk'(x) = k* (1-ln(x))/x²   ?

Posté par olive_68 olive_68

J'ai décomposé les fractions (ln(lx)/x et ln(kx)/x comme écris dans mon premier poste

Puis j'ai dérivé la différence des deux, à toi de montrer le résultat

Posté par ptitananas ptitananas

donc on cherche le dériver de ln(k)/x - ln(l)/x  ?

et donc je trouve (ln(k)/x )' = ((x/k)- ln(k)) / x² ...

La j'avoue je suis bloquée

Posté par olive_68 olive_68

non non ln(k) est une constante, donc de dérivée nul , c'est comme si tu dérivais 1/x et que multipliais le résultat par ln(k)

Posté par ptitananas ptitananas

haaa ouais.

c'est bon j'ai trouver du coup

et donc quand l>k  
ln(l/k)> 0
donc (Fk-Fl)' > 0
donc Fk est au dessus de Fl  ?  

Posté par olive_68 olive_68

D'accord juste la

Si on pose g(x)=fk(x)-fl(x), déduisant le signe de g et la seulement tu pourras conclure

Posté par ptitananas ptitananas

Déduire le signe de g ?

J'ai dit que c'était positif !

Aaaa non, la dérivé est positive... Mais dans ce cas c'est pareil pour le fonction non ?

Posté par olive_68 olive_68

Non ^^ -e^{-x} est toujours négative pourtant sa dérivée est positive

Posté par ptitananas ptitananas

alors je ne sais pas...

Posté par olive_68 olive_68

Tu sais que g est croissante, essaye de voir quand elle s'annule

Posté par ptitananas ptitananas

ouais je verrai plus tard, la faute que je fasse la partie B...

Posté par ptitananas ptitananas

En tout cas merci beaucoup ^^

C'est gentil de m'avoir prêter un peu de temps ^^

bonne soirée