Aire d'un triangle et équation cartésienne

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Aire d'un triangle et équation cartésienne

Posté le 14-03-10 à 16:48

Posté par robali

Bonjour !
On considère A(6:4),B(-3;1) et C (5;-3) dans un repère orthonormé.

1) Déterminer une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle ABC
J'ai trouvé x²+y²-4x-2y-20=0

2)déterminer l'aire du triangle ABC
Je n'arrive pas a faire le lien entre une équation cartésienne et l'aire d'un triangle.

En attendant vos réponses !
Merci d'avance

re : Aire d'un triangle et équation cartésienne

Posté le 15-03-10 à 14:06

Posté par cailloux

Bonjour,

L' écriture canonique de l' équation du cercle circonscrit:

$(x-2)^2+(y-1)^2=5^2$

Son rayon est donc $R=5$

et $S=\frac{abc}{4R}$ où $a,b,c$ sont les longueurs des côtés du triangle.

On obtient $S=30$

re : Aire d'un triangle et équation cartésienne

Posté le 15-03-10 à 14:12

Posté par Pierre_D

Bonjour Robali,

Connais-tu ces souvent précieuses expressions de l'aire du triangle $ABC$ :
$Aire\ =\ \frac12\,bc\,\sin A\ =\ \frac12\,ca\,\sin B\ =\ \frac12\,ab\,\sin C\ =\ \frac {abc}{4R}\ =\ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\ =\ rs$
où $a,b,c$ sont les longueurs des côtés opposées à $A,B,C$ , $s=\frac{a+b+c}2$ , $r$ et $R$ sont les rayons des cercles inscrit et circonscrit ?

re : Aire d'un triangle et équation cartésienne

Posté le 16-03-10 à 14:57

Posté par robali

Non je connaissais pas du tout!

En attendant vos réponses, j'ai testé avec la hauteur issue de A. Il faut déterminer l'équation de la hauteur avec le produit scalaire puis l'équation de BC.

On résout donc le système obtenue pour avoir les coordonnées de "H".

Grâce a ces coordonnées on peut donc en déduire les coordonnées du vecteur AH et BC pour ensuite déterminer les distances. Et, enfin, aboutir à la formule (base*hauteur)/2.

J'espère avoir été clair.

Merci beaucoup de vos réponses!

re : Aire d'un triangle et équation cartésienne

Posté le 16-03-10 à 16:18

Posté par Pierre_D

C'est clair, Robali, et ça marchera, même si c'est plus long que de calculer a,b,c et diviser par 4R que l'on connaît déjà.

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