intégration par parties 2

Posté par dofina64 dofina64

voici l'exercice 2 ou je suis bloquée :
exercice 2:
a) calculer de 1 à 3 de x^n-1dx avec n : pour cette question je trouve : 1/n(3ⁿ-1) c'est juste ?
b) Soit L_k=1 à 3 de x^n-1(Lnx)^kdx avec n et k
trouver la relation entre L_k et L_k-1
c) calculer L_k en fonction de n, k et L₀
d) en deduire L_k en fonction de n, k.

pour cet exercice je sèche complètement, je n'arrive jamais a trouvé des relations entre L_n et L_n+1
et à calculer en fonction de plein de variable et cet exercice représente tout ce sur quoi je bloque

Posté par olive_68 olive_68

Salut

Ok pour la a).

Fait une IPP en posant u'=x^(n-1) et v=(ln(x))^k

Posté par dofina64 dofina64

je trouve ça:

L_k=[(1/n)xⁿ)(ln x)^k)](1 à 3) - k*(1/n)*(1/x)xⁿ(ln x)^k-1dx

Posté par olive_68 olive_68

Une petite remarque, x est la variable d'intégration dans ton intégrale, tu n'as donc pas le droit de le sortir de l'intégrale comme tu le souhaite, en terminant les calculs et en rectifiant cela tu trouves quoi comme relation de récurrence entre L(k) et L(k-1) ?

(C'est le même principe que dans ton autre topic, celui où Narhm t'explique (il explique très bien d'ailleurs !))

Posté par dofina64 dofina64

a oui je suis bête je le sais en plus

donc je trouve :

L_k=[(1/n)xⁿ)(ln x)^k)](1 à 3) - k*(1/n)(1/x)xⁿ(ln x)^k-1dx =[(1/n)xⁿ)(ln x)^k)](1 à 3) - k*(1/n)x^n-1(ln x)^k-1dx = ((1/3)3ⁿ)(ln 3)^k-1-(k/n)L_k-1

je m'aperçoit que c'est le mm pb que mon premier exercice et ke je bloque encore. -_-"

Posté par olive_68 olive_68

Je crois que tu t'es juste trompé sur un exposant mais c'est principalement ça qu'il fallait trouver. une idée pour la suite ?

Posté par dofina64 dofina64

non, je vois comment faut faire mais aucunes idée sur comment le faire et quoi trouver.
la première partie de l'intégrale me bloque l'autre partie je dois trouver quelque chose comme [(k(k-1)...(k-(p-1)))/n^k-(p-1))]L_k-p où k-p=0 ?

Posté par dofina64 dofina64

on peut m'aider svp j'en ai vraiment besoin

Posté par Narhm Narhm

Finalement tu as trouvé la relation liant L_k+1 et L_k ?

Posté par dofina64 dofina64

ben a par celle que j'ai mise en haut c'est à dire :
(1/n)3ⁿ(ln 3)^k - (k/n)L_k-1
j'ai pas trouvé plus court :S

Posté par Narhm Narhm

Ah oui pardon.
D'accord, donc ca c'est ok.

Maintenant, il faut qu'on arrive à trouver l'expression générale de L_k en fonction de L₀,k et n.
En commencant à écrire à la suite L_k=(1/n)3ⁿ(ln 3)^k -(k/n)L_k-1=(1/n)3ⁿ(ln 3)^k -(k/n)((1/n)3ⁿ(ln 3)^k-1-(k-1)/nL_k-2)=...
Tu arrives à deviner une allure générale pour l'expression de L_k ? ( C'est pas forcement évident au premier coup d'oeil )

Posté par dofina64 dofina64

alors j'ai fais exactement ce que tu as fait mais justement c'est là ou je bloque, depuis taleur j'essaie de trouver mais je n'arrive pas non à voir la formule...je me retrouve avec une formule de trois kilomètres

Posté par dofina64 dofina64

je trouverais sa mais j'en suis vraiment pas sure:

(k-(p-1))!/n^p * [((1/n)3ⁿ)-(ln 3)^(k-(p-1))!] + (k-(p-1))!/n^pL_k-p où k-p=0
mais après je crois que les signes se n'est pas trop sa ...

Posté par Narhm Narhm

Oui je confirme, la formule n'est pas très belle :s

C'est souvent problématique, si on n'arrive pas à voir la tête de la formule, on est complètement bloqué...
Essaie de vérifier que pour tout n fixé, pour tout k>2 :

Posté par dofina64 dofina64

elle est super dure la formule je ne suis pas sure de tout comprendre

Posté par Narhm Narhm

Que ne comprends-tu pas dans la formule ?

Posté par dofina64 dofina64

je reste bloquée en partie sur k!/n^(k-1) et sur k!/(k-i)! et sur le pk on commence a k-2 pour le signe somme

Posté par Narhm Narhm

Je t'explique comment j'ai fait.
Pour k=0,1,2 c'est très simple.
J'ai cherché une généralisation pour k>2.
Donc j'ai pris au pif, k=5, j'ai tout développer avec la formule de récurrence liant Lk et Lk-1, puis j'ai regroupé les termes qui se ressemblaient, agencé comme j'ai pu et il en est ressorti le résultat que je te propose.

Ensuite pour en être sur, je vérifie ma formule par récurrence.

Posté par dofina64 dofina64

d'accord merci j'ai compris, j'ai toujours eu bcp de mal à comprendre les formules ou on se retrouve avec les signes ....

pour la dernière question, en déduire en fonction de n et k il faut que je calcule L0 ?

Posté par Narhm Narhm

Oui c'est bien ca

Posté par dofina64 dofina64

ok je l'ai calculé mais en mm tps je me suis aperçue que c'est la réponse à la question a) donc (1/n)((3^n)-1)
je remplace ça dans dans la formule précédente et c'est bon ?

Posté par Narhm Narhm

Oui normalement.
Je vais quand meme revérifier ma formule parce que j'ai peut-être fait une erreur dedans.
Je te redonne la bonne formule dans quelques minute.
Sinon, une fois la formule trouvée, le calcul de L0 étant fait , oui y a plus rien à faire.

Le plus dur ici c'est de conjecturer la bonne formule et de la vérifier par récurrence ( "long" et calculatoire ... )

Posté par dofina64 dofina64

d'accord j'attends ta confirmation alors

Posté par Narhm Narhm

Ah voilà, j'avais bien une petit erreur. A force de retourner la formule dans tous les sens, j'ai fait deux petites erreurs ( en particulier le rang k-1 dans la somme qui manquait et une erreur sur la puissance de n devant L0).

Pour résumer :
Pour tout n>0 :






Formule que l'on démontre par récurrence.

Posté par dofina64 dofina64

Je te remercie bcp pour ton aide, je n'aurais jamais jamais trouvé sans toi, merci aussi à Olive_68 pour ton aide.
Je vous souhaite à tous les 2 une bonne nuit et encore merciii

Posté par Narhm Narhm

De rien, passez une bonne nuit aussi à vous tous