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Posté le 14-03-10 à 19:00

Posté par Stalko

Bonjour à tous

Un jour je me suis demandé quel pouvait être l'allure d'une fonction de type $f(x)=2^x-x^2$ ou bien $f(x)=8^x-x^8$ ...
J'ai remarqué que pour x positif, il y avait un intervalle tel que $f(x)<0$ . Or en essayant par hasard $f(x)=e^x-x^e$ j'ai été étonné de voir que f(x) n'était jamais négatif. Je pars à la recherche d'une démonstration...

Soit $f(x)=n^x - x^n$ avec $x \ge 0$
On admet qu'il existe un réel n tel que $f(x) \ge 0$

si $x=n$ alors $f(x)=0$ , je déduis que f admet un minimum en n (je crois que le lien logique est un peu "léger") d'où $f'(n)=0$

En utilisant la définition de la dérivée (je n'ai pas de formule pour dériver $n^x$ ni $x^n$ si n n'est pas un entier naturel):
$f'(x)= \lim_{h\to 0} \frac{n^{x+h} - n^x}{h} - \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$
d'où $f'(n) = \lim_{h\to 0} \frac{n^{x+h} -(n+h)^n }{h}$

Ma recherche revient à démontrer:

$\lim_{h\to 0} \frac{n^{n+h} -(n+h)^n }{h} = 0 \Longleftrightarrow n=e$

Là je suis bloqué... Est-ce que quelqu'un a une solution? Surtout, est-ce que je suis parti dans la bonne direction? Je crois que ça pourrait marcher aussi si je m'intéresse aux solutions de $n^x - x^n = 0$ et si je montre qu'elle n'en admet qu'une seule sur R+ si n=e.

Voilà, enfin est-ce que ce petit problème personnel est accessible à mon niveau (terminal S)?

P.S: je ne savais pas vraiment dans quel forum placer ce sujet, j'espère qu'il a bien sa place dans celui-ci

re : propriété de e

Posté le 14-03-10 à 23:59

Posté par Yzz

Bonsoir,
Une piste en passant: tu dois voir en terminale, que pour tout entier n strictement positf, n^x=e^xln(n) (formule en fait valable pour tout réel strictement positif). Et ça se dérive à peu près tout seul...

re : propriété de e

Posté le 16-03-10 à 12:51

Posté par plumemeteore

Bonjour.

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re : propriété de e

Posté le 16-03-10 à 19:02

Posté par Stalko

Merci pour votre remarque Yzz!
J'ai alors $f'(x)=ln(n) \times e^{x \times ln(n)} -\frac{n}{x} \times e^{n \times ln(x)}$

si $n = e$ , $f'(x)=e^x - \frac{e}{x} \times e^{e \times ln(x)}$

d'où $f'(e) = e^e - e^e = 0$

J'ai aussi réussi à résoudre équation:

On cherche à montrer que $\lim_{h\to +\0} \frac{e^{e+h}-(e+h)^e}{h} = 0$

Soit $g(x)=e^x$
On a $g'(e)= \lim_{h\to \0} \frac{e^{e+h}-e^e}{h} = e^e$

$\Longleftrightarro \lim_{h\to \0} \frac{e^{e+h}-e^e}{h} - e^e =0$

$\Longleftrightarro \lim_{h\to \0} \frac{e^{e+h}-e^e -h \times e^e}{h}=0$

or $\lim_{h\to \0} e^e - h \times e^e = e^e$

et $\lim_{h\to \0} (e+h)^e = e^e$

d'où $\lim_{h\to \0} \frac{e^{e+h}-(e+h)^e}{h} = \lim_{h\to +\0} \frac{e^{e+h}-e^e -h \times e^e}{h} = 0$
Cela vous semble correct?

Par hasard, j'ai trouvé dans mon livre de math un exercice qui vise à trouver les solutions de $x^y=y^x$ avec x et y des entiers distincts. L'exercice demande de ramener l'équation à $\frac{ln(x)}{x} = \frac{ln(y)}{y}$ et d'étudier la fonction $h(x)=\frac{ln(x)}{x}$ . On retrouve alors la plupart de vos observations plumemeteore (la courbe admet un maximum en e, il n'y a que deux intervalles sur lesquelles elle est monotone, ect...)

Merci pour votre aide!

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