question pour un calcul de primitive

Posté par Elliot Elliot

Bonsoir à tous, j'aurai besoin de votre aide pour que vous m'expliquiez la méthode Pour decomposer une fraction rationnelle en elements simples, pour en calculer facillement une primitve. Car quand on n'arrive pas à faire apparaitre le quotient: U'/U^n car il reste des "x" au numerateur. merci davance pour votre aide: par exemple:
pour calculer une primitive de f définie par : f(x) = ( 2x^3 - 4x² + 2x + 1 )/((x-1)²)  on a ecrit f comme la somme d'un polynome et d'une nouvelle fonction rationnelle, en effet on à :
f(x) = 2x + 1/((x-1)²)
A partir de cela trouver une primitive de f est facile, mais pourriez vous m'expliquer la méthode pour trouver cette décomposition. Merci beaucoup.

Posté par pgeod pgeod


il faut effectuer la division polynômiale de
2x^3 - 4x² + 2x + 1 par x²- 2x + 1

elle se pose comme une division euclidienne que l'on apprend en CM2.

...

Posté par Elliot Elliot

bonjour pgeod merci pour ta reponse j'obtient: 2x^3 - 4x² + 2x + 1 =  2x(x²-2x+1) + 1  aprés mes calculs
et ensuite... merci encore

Posté par pgeod pgeod


2x^3 - 4x² + 2x + 1 =  2x(x²-2x+1) + 1

qui s'écrit alors :

(2x^3 - 4x² + 2x + 1) / (x²-2x+1) =  2x + 1 / (x²-2x+1)

et on a notre division.

...

Posté par Elliot Elliot

on obtient donc f(x) = 2x + (1/(x²-2x+1)). Ok merci beaucoup et donc F(x)= x² - (1/(x-1)) .
Sinon pour un produit de fonction a par l'integration par parties est ce que vous ne connaitrez pas d'autre astuces et méthodes? merci

Posté par Elliot Elliot

personne n'a une idée? merci

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

Bonjour,

As-tu un exemple ?
Ce serait plus facile d'en discuter.

Posté par Elliot Elliot

Bonjour godefroy_lehardi voila par exemple: trouver une primitive de f(x) = (x² - 2 ).e(-x)  merci pour ton aide. Tu ne connaitré pas alors des astuces pour trouver une primitive d'un produit ( a par l'integration des parties ) merci

Posté par godefroy_lehardi godefroy_lehardi

On ne peut pas donner d'astuces qui marchent en général.
Dans certains cas (et avec un peu d'habitude), on peut reconnaitre des formes connues (du genre u'v+uv').
Mais finalement, c'est avec l'intégration par parties qu'on résout le mieux ce genre de problème.
Surtout avec l'exponentielle qui reste toujours sous la même forme.

Posté par Elliot Elliot

ok merci