Modélisation d'une chaîne da Markov

Posté par Dina Dina

Bonjour

Je dois modéliser la situation suivante:
-s'il a plu les 2 jours précédents (état 0), il pleuvra demain avec probabilité 0,7
-s'il a plu aujourd'hui mais pas hier (état 1), il pleuvra demain avec probabilité 0,5
-s'il a plu hier mais pas aujoud'hui (état 2), il pleuvra demain avec probabilité 0,4
-s'il n'a pas plu les 2 jours précédents (état 3), il pleuvra demain avec probabilité 0,2

Ma question est si la modélisation doit être une matrice carrée ou non, car j'ai eu l'idée de la modélisation suivante:
état   (temps demain)
      (beau)   (pluie)
0    [  0,3       0,7  ]
1    [  0,5       0,5  ]
2    [  0,6       0,4  ]
3    [  0,8       0,2  ]


Merci d'avance pour votre aide

Posté par oliveiro oliveiro

Salut,

En fait, ta matrice de transition P n'est pas de cette forme,
Tu dois avoir P_i,j = P[X_n+1 = j | X_n = i], avec i, j prenant les valeurs 0, 1, 2, 3.
Tu as ainsi une matrice carrée de taille 4x4.
Par exemple,
X_n+1 = 2 signifie, il a plu le jour n mais pas le jour n+1.
X_n = 0 signifie, il a plu le jour n-1 et le jour n.

A chaque étape, tu dois te demander,
quelle est la probabilité qu'au jour n, il pleuvent (ou pas) et au jour n+1, il pleuve (ou pas),
sachant qu'au jour n-1, il a plu (ou pas) et au jour n, il a plu (ou pas).

J'espère être clair
++

Posté par Dina Dina

Donc ma matrice sera composée de coefficients qui me donnent la probabilité des états pour les jours (aujourd'hui et demain), sachant l'état pour les jours (hier et aujourd'hui)?

Ainsi il suffira d'utiliser la formule de P(B|A)=P(B n A)/P(A)?

Posté par oliveiro oliveiro

Pour ta première question, oui,
tu peux raisonner sur (hier / aujourd'hui) et (aujourd'hui / demain), ça aide même à pas trop s'emmêler les pinceaux.

Par contre, la formule que tu as donné ne sert à rien pour remplir la matrice de transition, car tu ne connais aucune de ces probabilités.
Tu dois remplir ta matrice simplement à partir de ton énoncé.

Je te fais la première ligne :
On cherche : P(Xn+1 = j | Xn = 0), j = 0, 1, 2, 3.

On sait que : Il a plu hier et aujourd'hui,
donc en particulier, il a plu aujourd'hui,
Donc on ne peut avoir : Xn+1 = 1 ou 3, (car  sinon il n'aurait pas plu aujourd'hui)
ainsi, P(Xn+1 = 1 | Xn = 0) = P(Xn+1 = 3 | Xn = 0) = 0.

Maintenant, P(Xn+1 = 0 | Xn = 0), revient à dire, quelle est la probabilité qu'il pleuve demain
sachant qu'il a plu hier et aujourd'hui : 0.7

Et enfin, P(Xn+1 = 2 | Xn = 0), revient à se demander quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas demain sachant qu'il a plu hier et aujourd'hui : 0.3.

On a fini la première ligne, et très important, on vérifie que la somme des coefficients de la ligne font 1.

Voilà.

++

Posté par Dina Dina

D'accord, j'ai compris la démarche.
Tu m'as vraiment beaucoup aidé. MERCI

Posté par oliveiro oliveiro

Y a pas de quoi