Argshx Arcsinx Arctanx

Posté par tony2nc tony2nc

Bonjour!
J'ai un exercice dont je ne suis pas sur est j'aimerais avoir un avis! J'espère que quelqu'un pourra m'être d'une quelconque aide! En vous remerciant par avance.

Questions:
1) Simplifier:

a)Arcsin 2x/1+x² = Arctanx

Pour tout x' tanx'=sinx'/cosx' et sinx'^2+cosx'^2=1 donc  tanx'^2+1=1/cosx'^2
tanx'^2=sinx'^2/cosx'^2=sinx'^2(1+tanx'^2) et sinx'^2=tanx'^2/(1+tanx'^2)

Si x=tanx', en prenant le sinus des deux membres de l'équation on obtient alors
2x/(1+x^2)=sin(arctanx)=x/(1+x^2) soit (1+x^2)=2 et x^2=3,
x=(3)

Peut-on améliorer cela? est ce juste?

b)f(x)=Argsh(2x(x²+1))

Pour celui je n'arrive pas à le simplifier

Merci d'avance

Posté par flo2nc flo2nc

Je ne comprend pas le lien entre la première partie du raisonnement et la seconde à la question 1)a- ?
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer car j'ai un exercice similaire...
Merci beaucoup

Posté par Priam Priam

b) Essaie en posant x = sh t.

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour

Pour la première question, je ne comprends pas ce que tu entends par "simplifier" une équation... je présume que tu veux la résoudre !

Tout ce que je peux dire, c'est qu'on doit dejà montrer que cette équation est définie sur .

Ensuite, une formule de trigo usuelle est sin(2a)=2.tan(a)/(1+tan²(a))
donc en posant a=arctan(x), on obtient
arcsin(2x/(x²+1))=arcsin(sin(2a))
et l'équation devient
arcsin(sin(2a))=a
2a étant entre - et , il faut donc distinguer plusieurs cas.

Si a est entre -/4 et /4
l'équation devient alors 2a=a, donc a=0, ce qui donne x=0

Si a est entre -/2 et -/4
l'équation devient --2a = a
donc a=-/3, donc x=-3

Si a est entre /4 et /2
l'équation devient -2a=a
donc a=3 et donc x=3

au final, l'équation 1-a) possède 3 solutions : 0, -3 et 3

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

tony2nc : dans ta résolution, tu simplifies par x sans envisager le cas où x est nul.

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