Puissance de matrice

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Bonjour,
J'ai un exercice ou je bloque sur une question.
Voici l'énoncé
On pose la matrice
       2    0    0
A =  0,5  1,5  -0,5
       0,5  -0,5  1,5

et
       0    1    1
P =  1    1    0
       1    0    1

Question 1
Montrer que P est inversible et calculer son iverse
Pas de problème j'ai réussi et j'ai trouver
        -0,5    0,5    0,5
P^-1 =  0,5     0,5   -0,5
         0,5     -0,5   0,5

Question 2
Montrer que P^-1AP est une matrice inversible que l'on notera D
Pas de problème j'ai réussi et j'ai trouvé
       1    0    0
D =  1    1    -1
       1    -1    1

Question 3
Calculer Aⁿ
Et por cette question je bloque.J'ai écris que Dⁿ = P^-1AⁿP, ensuite j'ai voulu essayer d'isoler Aⁿ mais je n'y arrive pas.

Merci pour votre aide. Ludovic

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

A mon avis ta D est fausse! Elle devrait être diagonale!

Posté par raymond raymond

Bonjour.

Posté par raymond raymond

Bonjour Camélia.

Je confirme !

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Oui en effet, j'ai taper sur l'écran le produit P^-1 par A.
Sinon ma matrice D est bien la même que raymond.
J'ai une question est ce qu'un matrice diagonale peut avoir des coefficient sur la diagnale principale différent de 1 ou pas.

Merci de m'aider
Ludovic

Posté par Camélia Camélia

Bonjour Raymond Une matrice qui s'appelle D et qui ne serait pas diagonale??

Posté par Camélia Camélia

Oui, bien sur, la preuve! ici il y a des 2... mais tu écris n'importe quelle matrice diagonale avec n'importe quoi sur la diagonale!

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Serait t-il possible de m'aider à calculer Aⁿ.
Comme D est une matrice diagonale alors j'obtient très facilement Dⁿ mais après je ne sais pas.

Posté par Camélia Camélia

Tu as écrit , donc

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Merci Camélia.
Alors voici ce que j'ai trouvé
         2n                 0                   0
Aⁿ =  -0,5 + 2^n-1     0,5 + 2^n-1      0,5 - 2^n-1
        -0,5 + 2^n-1     0,5 - 2^n-1      0,5 + 2^n-1

Merci beaucoup pour votre aide. Et à la prochaine fois. Ludovic

Posté par raymond raymond

Bonne soirée.

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Merci à vous raymond et bonne soirée aussi. Ludovic

Posté par MacErmite MacErmite

Bonjour,

je suis très intéressé par cet exercice et je me demande pourquoi on peut écrire ?

Pouvez-vous m'expliquer ?

Merci

Posté par MacErmite MacErmite

Merci, je comprends mieux ce qui se passe à présent.

Posté par raymond raymond

Bonne soirée.