équation différentielle

Posté par sil2b sil2b

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exo, merci.

On note f(t) le nombre de ménages, vivant en France, équipés d'un ordinateur (t en années, f(t) en millions; on pose t=0 en 1980). on sait que f(0)=0,01 et on estime que, sur la période allant de 1980 à 2015, f est solution de l'équation différentielle : y'=0,022y(20-y) (1).

1) résoudre l'équation (1) en posant z=(1/y).
2) Vérifier, que l'on a avec une bonne approximation :

f(t)=20/(1+2000e^-0,44t.

3)Étudier et représenter graphiquement la fonction f sur [0;35].
4)En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint 10 millions ?


je ne m'en sort pas du tout avec les équations différentielles.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

En posant z=1/y, on a aussi y=1/z, donc . En remplaçant dans l'équation (1) on trouve



ou encore



et ça c'est une équation que tu dois savoir résoudre.

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

bonjour

1) on pose z=1/y
donc y=1/z
donc y'=...?...

Posté par Camélia Camélia

Salut MM

Posté par sil2b sil2b

bonjour,

je ne comprend pas, en refaisant le calcul, je trouve -z'/z²=0,44/z - 0,022/z²

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est bien -0,022 et non -0,044. Ensuite tu multiplies tout par

Posté par sil2b sil2b

finalement, je ne vois pas comment résoudre cette équation, z'=-0,44z+0,022

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

ah ben là il faut apprendre le cours
(équa diff ordre 1 coefficients constants !)

Posté par sil2b sil2b

l'équation différentielle z'=-0,44z+0,022 admet comme solutions les fonctions f_k(x)=ke^-0,44x + 0,05 ?

Posté par Camélia Camélia

Oui!

Posté par sil2b sil2b

ok.

2) j'ai remplacé t par 0. je trouve avec la calculette, f(0)=0,009995...
d'après l'énoncé, f(0)=0,01 donc l'approximation est bonne. ?

Posté par Camélia Camélia

Faut croire que oui...

Posté par sil2b sil2b

ok.

3)étudier: il faut calculer la dérivée et faire le tableau de variation ?

Posté par Camélia Camélia

Oui, bien sur

Posté par sil2b sil2b

bonjour,

je trouve f'(t)=17600e^-0,44t/(1+2000e^-0,44t)²

Posté par Camélia Camélia

Il y a un - devant! f'(t) < 0

Posté par sil2b sil2b

je ne suis pas d'accord.

V'(x)=-2000*0,44e^-0,44t

en faisant la dérivée, un momment on a bien -UV' ?

Posté par sil2b sil2b

mais peut être que je me trompe

Posté par Camélia Camélia

Oui, tu as raison! Je n'avais pas vu le - dans l'exposant de e. f est croissante!

Posté par sil2b sil2b

ok mais comment on peut justifier que f'(t) est croissante ?

Posté par Camélia Camélia

Ce n'est pas f' qui est croissante! f' est positive donc f est croissante!

Posté par sil2b sil2b

oui pardon, pour justifier que f' est positive, il faut dire quoi ?

Posté par Camélia Camélia

Ben, tu la vois ta f'; il n'y a que des exponentielles et des carrés!

Posté par sil2b sil2b

ok. on fait le tableau de variation sur [0;35] ?

Posté par Camélia Camélia

Oui, bien sur, mais c'est fait depuis longtemps non? Elle est croissante!

Posté par sil2b sil2b

oui bien sure, je vais faire la courbe maintenant

Posté par sil2b sil2b

tu me conseilles de prendre quoi comme unité ?

Posté par Camélia Camélia

L'année en abscisse et 1000 en ordonnée? je n'en sais rien, il faut faire des essais!

Posté par Camélia Camélia

Non, 1000 c'est surement trop peu! Au moins 100000!

Posté par sil2b sil2b

mais, il faut que l'unité soit la même en abscisse et en ordonnée ?

Posté par Camélia Camélia

Ca m'étonnerait que ça rentre... De toute façon on parle de 35 années et de millions de familles!

Posté par sil2b sil2b

en abscisse, 2cm=5
en ordonnée, 1cm=1

le repère est grand, la courbe forme un grand s allongé. je ne vois pas trop comment améliorer le choix des unités

Posté par mavieatoulouse mavieatoulouse

j'ai le même exercice à faire et je n'arrive pas à faire la courbe.
Comment a tu fais?