Suite avec lnx

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Suite avec lnx

Posté le 15-03-10 à 19:13

Posté par latiffa

Voilà, je bloque à une question sur cette exercice et je voudrais aussi vérifier si j'ai bien dérivé, je vous donne donc tout l'énoncé au cas où.

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;+[ par f(x) = x/lnx.

1.a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +. (j'ai +

pour les deux).
b. Étudiez les variations de la fonction f. (j'ai comme dérivée : f'(x)=(lnx-1)/((lnx)²)

2. Soit (U_n) la suite définie par U₀=5 et U_n+1=f(U_n) pour tout entier naturel n.

a. La courbe C représentative de la fonction f est donnée.
Tracer la droite d'équation y=x. (fait bien sûr)
Contruire les points M₁ et M₂ de la courbe C d'abscisses respectives U₁ et U₂. (Fait aussi)
Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (U_n). (j'ai dis qu'elle tendant vers un point d'abscisse 2.7 et d'ordonnée 2.7 mais ne devrais-je pas formuler ça autrement ?)

b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a U_ne (on pourra utiliser 1.b.). (j'ai voulu dire que f'(x) prend une valeur 0 et introduire une fonction g(x)=f'(x) mais je ne m'en sors pas avec ça : c'est donc ici mon plus gros problème)

c. Démontrer que la suite (U_n) converge vers un réel l de l'intervalle [e;+[. (je n'ai pas encore traitée cette question)

3. En étudiant de deux manières la limite de la suite (f(U_n)), démontrer que f(l)=l. EN déduire la valeur l. (je ne l'ai pas encore fait non plus)

En espérant que vous pourrez m'aider.

re : Suite avec lnx

Posté le 15-03-10 à 20:37

Posté par cailloux

Bonjour,

Citation :
Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (Un). (j'ai dis qu'elle tendant vers un point d'abscisse 2.7 et d'ordonnée 2.7 mais ne devrais-je pas formuler ça autrement ?)

On peut dire que $(u_n)$ semble décroissante et convergente

2)b) Une récurrence:

$u_0=5\geq e$ et l' initialisation est faite.

On suppose que $u_n\geq e$ pour un certain rang $n$ fixé.

On utilise la croissance de $f$ sur $[e,+\infty[$ :

$f(u_n)\geq f(e)$

C' est à dire $u_{n+1}\geq e$ et l' hérédité est prouvée...

re : Suite avec lnx

Posté le 15-03-10 à 21:22

Posté par latiffa

Notre prof aime pas toujours le raisonnement par récurrence, et on se fait souvent avoir car cela ne prouve pas à 100% c'est pour cela que je demandais de l'aide. Si cela marchais a chaque fois, sans contre exemple.

re : Suite avec lnx

Posté le 16-03-10 à 18:31

Posté par latiffa

Et c'est quoi les deux manières à utiliser pour étudier la limite de la suite (f(Un)) ?

re : Suite avec lnx

Posté le 17-03-10 à 10:14

Posté par cailloux

Citation :
Notre prof aime pas toujours le raisonnement par récurrence, et on se fait souvent avoir car cela ne prouve pas à 100% c'est pour cela que je demandais de l'aide.

Dans le cas de suites définies par récurrence, c' est souvent la meilleure solution.

Ne t' en déplaise, la pruve par récurrence est une preuve à part entière.

3) $u_{n+1}=f(u_n)$

donc d' une part: $\lim_{n\to +\infty}f(u_n)=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\ell$

et d' autre part: $\lim_{n\to +\infty}f(u_n)=\lim_{x\to \ell}f(x)=f(\ell)$ par continuité de $f$ sur $[e,+\infty[$

Ainsi $\ell$ est solution de l' équation $x=f(x)$ sur $[e,+\infty[$

donc $\ell =e$

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